解析函数复积分

复积分计算方法

设函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内解析，若 D D D是单连通区域，则 ∮ l f ( z ) d z = 0 \oint_lf(z)dz=0 ∮l​f(z)dz=0。若 D D D是多连通区域，则需要排除奇点(不解析的点)，故解析函数内围线积分得 ∮ C 0 f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ z = a k f ( z ) \oint_{C_0} f(z) dz=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k}f(z)dz=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z=a_{k}} f(z) ∮C0​​f(z)dz=k=1∑n​∮Ck​​f(z)dz=2πik=1∑n​Resz=ak​​f(z) 留数计算：

留数 Res ⁡ z = a f ( z ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) d z = c − 1 \operatorname{Res}_{z=a}f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=c_{-1} Resz=a​f(z)=2πi1​∮C​f(z)dz=c−1​

为了计算方便，当留数奇点种类可知时，

若奇点是可去奇点，则留数为0；若奇点是本性奇点，则需要采用Laurent 展开后求得 c − 1 c_{-1} c−1​；奇点若是一阶极点， Res ⁡ z = b f ( z ) = lim ⁡ z → b ( z − b ) f ( z ) \operatorname{Res}_{z=b} f(z)= \lim _{z \rightarrow b}(z-b) f(z) Resz=b​f(z)=limz→b​(z−b)f(z)，奇点若是 m m m阶极点，则留数为 Res ⁡ z = b f ( z ) = 1 ( m − 1 ) ! d m − 1 [ ( z − b ) m f ( z ) ]   d z m − 1 ∣ z = b \operatorname{Res}_{z=b} f(z)=\left.\frac{1}{(m-1) !} \frac{\mathrm{d}^{m-1}[(z-b)^{m} f(z)]}{\mathrm{~d} z^{m-1}}\right|_{z=b} Resz=b​f(z)=(m−1)!1​ dzm−1dm−1[(z−b)mf(z)]​∣∣∣​z=b​。

若围线内奇点过多，则可以计算无穷远点处的留数 Res ⁡ z = ∞ f ( z ) = − c − 1 ( ∞ ) \operatorname{Res}_{z=\infty} f(z)=-c_{-1}(\infty) Resz=∞​f(z)=−c−1​(∞)，则围线内留数之和 ∑ k = 1 n Res ⁡ z = a k f ( z ) = − Res ⁡ z = ∞ f ( z ) \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z=a_{k}} f(z)=-\operatorname{Res}_{z=\infty} f(z) ∑k=1n​Resz=ak​​f(z)=−Resz=∞​f(z)。

利用留数计算实积分

将实积分看做围线的一部分，我们将整个上半平面围起来，则有围线一部分线积分（实积分）+ 围线其他部分线积分 = 围线积分= 2 π i ∑ k = 1 n R e s   f ( b k ) ∣ ℑ   b k > 0 \left.2\pi i\sum_{k=1}^n Res\ f(b_k)\right|_{\Im\ b_k>0} 2πi∑k=1n​Res f(bk​)∣ℑ bk​>0​ ，因此求出围线其他部分上的线积分及围线内的留数即可得到实积分。【若奇点在实轴上则计算出留数后当乘 1 2 \frac{1}{2} 21​，即上述积分应加上 π i ∑ k = 1 n R e s   f ( b k ) ∣ ℑ   b k = 0 \left.\pi i\sum_{k=1}^n Res\ f(b_k)\right|_{\Im\ b_k=0} πi∑k=1n​Res f(bk​)∣ℑ bk​=0​】

在计算围线上各部分线积分是应当注意：无穷远的线积分可用大圆弧定理或若当引理给出，若实轴上出现奇点，则可以用小圆弧定理挖去，通过这样的化简我们使得围线的一部分（实积分）可以很容易的用上半平面的留数表示出来。

大圆弧定理：设 f ( z ) f(z) f(z) 在 ∞ \infty ∞ 点的邻域内连续在 ， θ 1 ⩽ arg ⁡ z ⩽ θ 2 \theta_{1} \leqslant \arg z \leqslant \theta_{2} θ1​⩽argz⩽θ2​ 中，当 ∣ z ∣ → ∞ |z| \rightarrow \infty ∣z∣→∞ 时， z f ( z ) z f(z) zf(z) 一致地趋近于 K K K，则 lim ⁡ R → ∞ ∫ C R f ( z ) d z = i K ( θ 2 − θ 1 ) \lim _{R \rightarrow \infty} \int_{C_{R}} f(z) \mathrm{d} z=\mathrm{i} K\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right) limR→∞​∫CR​​f(z)dz=iK(θ2​−θ1​)。若分母阶数比分子高一阶以上，则 K = 0 K=0 K=0，线积分为0。

小圆弧定理：小圆弧引理：设 f ( z ) f(z) f(z) 在充分小的圆弧上连续，且 lim ⁡ r → 0 ( z − a ) f ( z ) = λ \lim _{r \rightarrow 0}(z-a) f(z)=\lambda limr→0​(z−a)f(z)=λ 在 C r C_{r} Cr​ 上一致地成立，则有 lim ⁡ r → 0 ∫ C r f ( z ) d z = i λ ( θ 2 − θ 1 ) \lim _{r \rightarrow 0} \int_{C_{r}} f(z) \mathrm{d} z=\mathrm{i}\lambda\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right) limr→0​∫Cr​​f(z)dz=iλ(θ2​−θ1​)。

若当引理：设在 0 ⩽ arg ⁡ z ⩽ π 0 \leqslant \arg z \leqslant \pi 0⩽argz⩽π 范围内，当 ∣ z ∣ → ∞ |z| \rightarrow \infty ∣z∣→∞ 时 f ( z ) f(z) f(z) 一致地趋于 0 ，则 lim ⁡ R → ∞ ∫ C R f ( z ) e i p z   d z = 0 \lim _{R \rightarrow \infty} \int_{C_{R}} f(z) \mathrm{e}^{\mathrm{i} p z} \mathrm{~d} z=0 limR→∞​∫CR​​f(z)eipz dz=0。

下一章节：数学物理方程总览

更多相关内容传送门：数学物理方法专栏阅读指南