（三）抛物线过渡的线性函数规划

前面说到，无论是三次还是五次多项式进行规划存在以下缺点：

• 位移往返
• 没有匀速段

这一节中，我们的研究对象是初速度和末速度都为0关节运动。

一、无过渡线性函数

假设时刻 t t t和角度 θ \theta θ是线性关系，其系数为 v v v，有： θ ( t ) = v ∗ t \theta(t)=v*t θ(t)=v∗t 在整一段运动中，其速度恒定为 v v v,假设在这段运动前的速度为 v p r e v_{pre} vpre​,如果速度差 Δ v = v − 0 = v ≠ 0 \Delta v=v-0=v\not=0 Δv=v−0=v​=0,根据加速度计算公式，在一个极短的时间 Δ t \Delta t Δt有： a = Δ v / Δ t = ∞ a=\Delta v/\Delta t=\infty a=Δv/Δt=∞

二、抛物线拟合的线性函数

为了避免端点处加速度的"冲击"，在运动的起末两点采用用两段抛物线进行平滑地改变速度大小。记两端待求抛物线的时间为 t b t_b tb​,总持续时间为 t t t，加速度为 a a a，速度从零变化到匀速 v v v，起末角为 θ 0 \theta_0 θ0​和 θ f \theta_f θf​，作出关节的角速度曲线： 红色面积代表运动的角度变化量即 θ f − θ 0 \theta_f-\theta_0 θf​−θ0​，有梯形面积公式有： S r e d = ( t − 2 t b + t ) ⋅ a ⋅ t b / 2 S_{red}=(t-2t_b+t)\cdot a\cdot t_b/2 Sred​=(t−2tb​+t)⋅a⋅tb​/2，整理得： a ⋅ t b 2 − a ⋅ t ⋅ t b + θ f − θ 0 = 0 a\cdot t_b^2-a\cdot t\cdot tb+\theta_f-\theta_0=0 a⋅tb2​−a⋅t⋅tb+θf​−θ0​=0 二次方程有解的条件是： Δ = a 2 t 2 − 4 a ( θ f − θ 0 ) ≥ 0 \Delta=a^2t^2-4a(\theta_f-\theta_0)\ge0 Δ=a2t2−4a(θf​−θ0​)≥0，即加速度需要满足 a ≥ 4 ( θ f − θ 0 ) / t 2 a\ge4(\theta_f-\theta_0)/t^2 a≥4(θf​−θ0​)/t2,对应的解 t b = t / 2 − ( a 2 t 2 − 4 a ( θ f − θ 0 ) ) / 2 a t_b=t/2-\sqrt{(a^2t^2-4a(\theta_f-\theta_0))}/2a tb​=t/2−(a2t2−4a(θf​−θ0​)) ​/2a

三、Matlab验证程序

% Velocity plan according accelerate 
% duration: total time of the motion

function [real_a,line_v,line_duration]=plan(set_a,delta_x,duration)
    while(1)
        min_acc=4*delta_x/(duration^2); %minimun acc
        if set_a=0&&ttacc_duration&&tt