（一）双S型速度规划 原理

一、双S型速度规划解决了梯形加速度曲线不连续的问题

梯形速度规划的加速度曲线是不连续的，这对于系统是有害的。从机械系统的角度来说，不连续的加速度会产生不必要的冲击力，使得机械系统产生抖动甚至破坏。双S型速度规划采用两段线性区间组合的方法解决加速度不连续的问题，线性段端点处采用抛物线过渡的方法，保证连接处的加速度曲线连续。若一个系统能够提供足够大的加加速度，双S型速度规划将会等同于梯形速度规划。另外，在相同的距离和期望速度下，双S型速度规划耗费的时间更多[1]，计算也更复杂：

二、双S型速度规划是什么？

双S型速度规划是一种速度规划方式，其目的是为了减少对机械系统造成的影响。也叫铃型规划（Bell）七段S型速度规划。速度曲线如下图所示： 观察上述速度曲线图，可以将整个运动可分为A M D三个过程，分别是：

• 加速阶段（Acceleration Phase, AP）
• 最大速度阶段（Maximum Phase, MP)
• 减速阶段（Deceleration Phase, DP）

AP段和DP段端点处采用抛物线进行拟合，避免了加速度突变。因为AP DP段速度曲线的形状像英文字母中的“S”所以叫做双S型速度规划，事实上，只要存在一个"S"就能称为S型速度规划。

三、规划参数及各阶段特征、规划基本条件 3.1 规划参数

规划参数是对速度轨迹形状的约束，可分为用户参数和系统参数，其中用户参数一般不作修改，为了达到规定的用户参数，系统参数可能会修调。用户参数指的是起始位置及速度：

• 整个规划端点处位移（ q 0 q_0 q0​ q 1 q_1 q1​）
• 整个规划端点处速度（ v 0 v_0 v0​ v 1 v_1 v1​）

系统参数是指：

• 速度上下限（ v m a x v_{max} vmax​ v m i n v_{min} vmin​）
• 最大加速度（ a m a x a_{max} amax​ a m i n a_{min} amin​）
• 最大加加速度（ j m a x j_{max} jmax​ j m i n j_{min} jmin​）

绝大多数时候，系统参数会采用“对称”规划，即： j m i n = − j m a x a m i n = − a m a x v m i n = − v m a x (3.1) j_{min}=-j_{max}\\ a_{min}=-a_{max}\\ v_{min}=-v_{max}\tag{3.1} jmin​=−jmax​amin​=−amax​vmin​=−vmax​(3.1) 文章的讨论都是基于(3.1)的对称规划进行的讨论。

3.2 各阶段的特征

我们先讨论位移增大的情况( q 1 > q 0 q_1>q_0 q1​>q0​)，在文章的最后我们将介绍位移减少情况（ q 1 < q 0 q_1\left\{ \begin{aligned} &T_j^*(v_0+v_1) \\\\ & \frac{1}{2}(v_0+v_1)[T_j^*+\frac{|v_1-v_0|}{a_{max}}] \end{aligned}\tag{3.3} \right. q1​−q0​>⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​Tj∗​(v0​+v1​)21​(v0​+v1​)[Tj∗​+amax​∣v1​−v0​∣​]​(3.3) 文中可能会出现以下参数记号：

• T j 1 T_{j1} Tj1​：第一组高、低脉冲时间；
• T j 2 T_{j2} Tj2​：第二组高、低脉冲时间；
• T a T_a Ta​：加速段时间（ T a ≥ 2 T j 1 T_a \ge2T_{j1} Ta​≥2Tj1​）；
• T d T_d Td​：减速段时间（ T d ≥ 2 T j 2 T_d \ge2T_{j2} Td​≥2Tj2​）；
• T v T_v Tv​：匀速阶段；
• T T T：规划总时间（ T = T a + T d + T v T=T_a+T_d+T_v T=Ta​+Td​+Tv​）；
• v l i m = m a x ( q ˙ ( t ) ) v_{lim}=max(\dot q(t)) vlim​=max(q˙​(t)) 运行的最大速度，如果有匀速段也称为运行速度；
• a l i m = m a x ( q ¨ ( t ) ) a_{lim}=max(\ddot q(t)) alim​=max(q¨​(t))运行的最大加速度。

规划完成后， v l i m v_{lim} vlim​ a l i m a_{lim} alim​这两个参数在最好情况下等于系统最大速度 v m a x v_{max} vmax​和系统最大加速度 a m a x a_{max} amax​；他可能根据用户参数进行调整，实际可能小于系统最大速度 v m a x v_{max} vmax​和系统最大加速度 a m a x a_{max} amax​[3]。

S型规划的最终的目标合理分配A.M.D三个阶段的时间，完成指定用户期望速度。

四、双S曲线时间参数的计算

完成双S型速度规划的关键在于计算时间参数，分别是 T j 1 T_{j1} Tj1​， T j 2 T_{j2} Tj2​ ， T a T_a Ta​， T d T_d Td​， T v T_v Tv​。时间参数计算分为两情况：

• v l i m = v m a x v_{lim}=v_{max} vlim​=vmax​
• v l i m < v v m a x v_{lim}