和两点间的中点公式一样，定比分点公式是一种给出中点坐标的公式。定比分点应该理解为：“固定比例分割点的坐标公式”，中点公式是他的一种特殊情况。我们可以用它寻找三角形的内心、质心和外心。它是在一个线段中按照固定比例将线段分为两部分。在二维坐标系下： 
截点公式（Section Formula）的翻译其实更加好理解，就是一个点将线段截成两段。该公式可以告知任何一个固定比例的点在坐标系的位置。
λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) ⋃ ( − 1 , + ∞ ) \lambda\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,+\infty) λ∈(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，当 λ = 1 \lambda=1 λ=1时，截点公式变成中点公式。
三、证明已知两点，
A
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
A(x_1,y_1,z_1)
A(x1,y1,z1)和
B
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
B(x_2,y_2,z_2)
B(x2,y2,z2)以及实数
λ
≠
−
1
\lambda\ne-1
λ=−1在直线
A
B
AB
AB中求点
M
M
M，使
A
M
→
=
λ
M
B
→
(1)
\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}\tag{1}
AM
=λMB
(1) 
解：如上图，由于
A
M
→
=
O
M
→
−
O
A
→
，
M
B
→
=
O
B
→
−
O
M
→
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}
AM
=OM
−OA
，MB
=OB
−OM
因此，
O
M
→
−
O
A
→
=
λ
(
O
B
→
−
O
M
→
)
\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})
OM
−OA
=λ(OB
−OM
) 从而，
O
M
→
=
1
1
+
λ
(
O
A
→
+
λ
O
B
→
)
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{1+\lambda}(\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB})
OM
=1+λ1(OA
+λOB
). 代入
O
A
→
\overrightarrow{OA}
OA
和
O
B
→
\overrightarrow{OB}
OB
的坐标，（即
A
A
A
B
B
B点的坐标），可得：
O
M
→
=
(
x
1
+
λ
x
2
1
+
λ
,
y
1
+
λ
y
2
1
+
λ
,
z
1
+
λ
z
2
1
+
λ
)
(2)
\overrightarrow{OM}=(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda})\tag{2}
OM
=(1+λx1+λx2,1+λy1+λy2,1+λz1+λz2)(2)
λ \lambda λ是不为 − 1 -1 −1的所有实数，它可以表示与线段 A B AB AB共线的所有坐标。
- λ ∈ [ 0 , + ∞ ] \lambda\in[0,+\infty] λ∈[0,+∞]， M M M在线段内，即内分点。
- λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) ⋃ ( − 1 , 0 ) \lambda\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0) λ∈(−∞,−1)⋃(−1,0)，在线段外，即外分点。（不等于负一的负数）
可以证明，当 λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) \lambda\in(-\infty,-1) λ∈(−∞,−1)是正向点（起点指向终点的延长外分点）；当 λ ∈ ( − 1 , 0 ) \lambda\in(-1,0) λ∈(−1,0)是反向点（终点指向起点的延长外分点）。特别的，在线段 A B AB AB上：
- 当 λ = 1 \lambda=1 λ=1时， M M M是线段 A B AB AB的中间点;
- 当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时， M M M是线段 A B AB AB的起点（ A A A）
- 当 λ → + ∞ \lambda\rightarrow +\infty λ→+∞， M M M是线段 A B AB AB的终点（ B B B）
λ \lambda λ参数含义不太直观，令： u = λ 1 + λ ( λ ≠ − 1 ) (3) u=\frac{\lambda}{1+\lambda}\quad (\lambda\ne-1)\tag{3} u=1+λλ(λ=−1)(3) 可以证明， u u u可以表示线段 A M AM AM占整段 A B AB AB运行的百分比，它将线段 A B AB AB分为比例为 u : u − 1 u:u-1 u:u−1两部分，百分比与 λ \lambda λ系数的转换： λ = u 1 − u ( u ≠ 1 ) λ = 0 ( u = 1 ) \begin{aligned} &\lambda=\frac{u}{1-u}\quad (u\ne1)\\ &\lambda=0\quad (u=1)\\ \end{aligned} λ=1−uu(u=1)λ=0(u=1)将 ( 3 ) (3) (3) 代入 ( 2 ) (2) (2) 有： O M → = ( ( 1 − u ) x 1 + u x 2 , ( 1 − u ) x 2 + u y 2 , ( 1 − u ) z 1 + u z 2 ) = ( 1 − u ) O A → + u O B → (4) \begin{aligned} \overrightarrow{OM}&=((1-u)x_1+ux_2,(1-u)x2+uy_2,(1-u)z_1+uz_2)\\ &=(1-u)\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OB} \end{aligned}\tag{4} OM =((1−u)x1+ux2,(1−u)x2+uy2,(1−u)z1+uz2)=(1−u)OA +uOB (4)形式变得较为简洁，更重要的是， u u u参数的几何含义更加明显。
- u ∈ ( − ∞ , 0 ) u\in(-\infty,0) u∈(−∞,0)，M在线段 A B AB AB左侧；
- u ∈ [ 0 , 1 ] u\in[0,1] u∈[0,1]，M在线段 A B AB AB上；
- u ∈ ( 1 , + ∞ ) u\in(1,+\infty) u∈(1,+∞)，M在线段 A B AB AB右侧。
参数 u u u的值越大，越靠近向量 A B AB AB右侧。重要的是， u u u是全体实数，不同于之前 λ ≠ − 1 \lambda\ne-1 λ=−1。
【20230307】修改了几个明显错误的地方。
