Eigen的学习（十）几何学应用

Geometry（几何学）主要就是指的空间变换。学习这一章，可以减少代码编写量。本小节将会介绍一些处理2D、3D旋转、投影和仿射的变换的一些内容，这些内容将会由几何模块（geometry module）提供。

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一、Geometry模块介绍

Geometry模块可以提供以下功能支持：

• 固定大小的齐次变换；
• 平移、缩放及二维和三维的旋转；
• 四元数；
• 叉积 (MatrixBase::cross, MatrixBase::cross3) ；
• 产生正交向量 (MatrixBase::unitOrthogonal)；
• 一些线性组件： 参数化直线和超平面；
• 轴对称包围盒 axis aligned bounding boxes；
• 最小二乘矩阵拟合 least-square transformation fitting；

这里主要对Tranform进行支持，这个类是几何变换的基础，代表N维齐次矩阵。

二、Tranform类 2.1 构造函数

Transform模板定义如下：

template
class Eigen::Transform

它代表了N维的齐次矩阵（Homogeneous transformation），单应性（homography）在内部由矩阵表示，可以使用matrix()方法返回。

• _Scalar 标量类型, 也就是系数的类型；
• _Dim 空间维度
• _Mode 变换的类型，它可能是：Affine或者AffineCompact或者Projective、Isometry[2]
• _Options 空间存储顺序，可选

对于机器人的变换算子（齐次矩阵）_Mode应该为Isometry，_Dim=3，对应的完整声明为：Transform T;，和Matrix3f等一样，为了方便声明，有以下别名：

完整声明别名typedef TransformIsometry2f;typedef TransformIsometry3f;typedef TransformIsometry2d;typedef TransformIsometry3d;typedef TransformAffine2f;typedef TransformAffine3f;typedef TransformAffine2d;typedef TransformAffine3d;typedef TransformAffineCompact2f;typedef TransformAffineCompact3f;typedef TransformAffineCompact2d;typedef TransformAffineCompact3d;typedef TransformProjective2f;typedef TransformProjective3f;typedef TransformProjective2d;typedef TransformProjective3d;

这样一来，我们就能够直接使用Isometry3d来表示机器人的变换算子了。

默认构造函数解释Transform()默认不进行初始化Transform(const EigenBase< OtherDerived > & other)用满足一定规则的Matrix构造Transform(const QTransform< _Scalar, _Dim, _Mode, _Options > & other)QT中的QTransform构造Transform(const QMatrix & other)QT中的QMatrix构造Transform(const Transform< OtherScalarType, Dim, Mode, Options > & other)拷贝构造（Tranform）类型

注：第二个构造函数是EigenBase，可用于构造和赋值MatrixBase，MatrixBase是所有dense matrices, vectors, and expressions的基类。像是一开始学到的Matrix类就是MatrixBase的子类，因此，你可以直接使用Matrix构造Transform。

MatrixBase有一个反解欧拉角的方法：Matrix< Scalar, 3, 1 > eulerAngles (Index a0, Index a1, Index a2) const） Index是一个std::ptrdiff_t long型整数，0代表绕x，1代表绕y，2代表z。

2.2 进行变换

Transform之间的变换可以通过运算符*来进行，值得注意的是，运算支持了DiagonalBase、EigenBase和Transform ，这也就是说，我们可以直接与Vector、Matrix进行混合运算。 Tranform类会提供两种不同的几何变换：

• 抽象变换。比如旋转（以轴角或者四元数），平移，缩放。这些变换不是由matrix类来表示的，但是你愿意，你仍可以将它们与matrix类、vector类混合使用。
• 投影或者仿射变换则是matrix类。查看Transform类，确实如此。

请注意，Transform虽非一个Matrix类型，但是仍然可以与Matrix、Vector进行混合使用。与一般的Matrix不同的地方在于，Tranform提供了许多性质用于简化组合和使用。具体的，它能够由其他变换（Transfrom,Translation,RotationBase,DiaonalMatrix）隐式转换成齐次向量后组合而成，这个操作就是运算符*，运算一般就是纯乘法，eigen不可以充分利用这些变换的性质，对其进行优化以提升效率。

二、Transformation 类构造方法

坐标变换是将一个坐标变换到另一个坐标，可以分为平移、旋转、缩放等。

变换类型典型的初始化方法二维定角度旋转Rotation2D rot2(angle_in_radian);三维定轴、定角旋转AngleAxis aa(angle_in_radian, Vector3f(ax,ay,az));注：轴向量必须标准化，怕出错用，Vector3d::UnitX三维四元数旋转Quaternion q; q = AngleAxis(angle_in_radian, axis);N维缩放Scaling(sx, sy) Scaling(sx, sy, sz) Scaling(s) Scaling(vecN)N维平移Translation(tx, ty) Translation(tx, ty, tz) Translation(s) Translation(vecN)N维维仿射变换Transform t = concatenation_of_any_transformations; Transform t =Translation3f(p) * AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s);N维线性变换(纯旋转、缩放等)Matrix t = concatenation_of_rotations_and_scalings; Matrix t = Rotation2Df(a) * Scaling(s); Matrix t = AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s);

以AngleAxis为例，构造函数有：

• 空默认构造
• 轴角两个参数
• QuaternionBase
• MatrixBase
• AngleAxis

赋值构造函数有：

• MatrixBase
• QuaternionBase

这就是不同四元数、矩阵之间构造时相互转换的基础。

Matrix3d m=Matrix3d::Identity(3,3);
Quaterniond q(m); 					//Rotation Matrix to Quaternion
AngleAxisd d;						//Default construction for AngleAxisd
d.fromRotationMatrix(m);			//Rotation Matrix to AngleAxis
auto dq=d*q;						//Quaternion=AngleAxis*Quaternion 
auto qd=q*d;						//Quaternion=Quaternion*AngleAxis
d=q;								//AngleAxis=Quaternion
q=d;								//Quaternion=AngleAxis
std::cout