23微分方程和exp(At)

预备知识 1.1 一阶线性齐次微分方程的解

d y d x + P ( x ) y = 0 (1) \frac{dy}{dx}+P(x)y=0\tag{1} dxdy​+P(x)y=0(1) 其齐次通解为： y = C e − ∫ P ( x ) d x (2) y=Ce^{-\int P(x)dx}\tag{2} y=Ce−∫P(x)dx(2) 令 P ( x ) = − λ P(x)=-\lambda P(x)=−λ， λ \lambda λ为常数。(1)对应的方程为： d y d x = λ y (3) \frac{dy}{dx}=\lambda y\tag{3} dxdy​=λy(3) 对应的解为： y = C e λ x (4) y=Ce^{\lambda x}\tag{4} y=Ceλx(4) 特别的， λ = 0 \lambda=0 λ=0，有： y = C y=C y=C，结论(3)(4)是求解微分方程的基础。

1.2 欧拉公式

e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ (5) e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\tag{5} eiθ=cosθ+isinθ(5) 对于任意一个角度，欧拉公式给出了单位圆上唯一的复数，请注意不是一一对应，因为对于任意 θ + 2 k π \theta+2k\pi θ+2kπ都表示同一个复数。需要留意的是 e a + b i e^{a+bi} ea+bi的模为： e a + b i = e a e b i = ∣ e a ∣ ∣ e b i ∣ e^{a+bi}=e^a e^{bi}=\vert e^a\vert\vert e^{bi}\vert ea+bi=eaebi=∣ea∣∣ebi∣ 复数部分，套用欧拉公式有： ∣ e b i ∣ = ∣ cos ⁡ b + i sin ⁡ b ∣ = cos ⁡ 2 b + sin ⁡ 2 b = 1 \vert e^{bi}\vert=\vert \cos b+i \sin b\vert=\cos^2b+\sin^2b=1 ∣ebi∣=∣cosb+isinb∣=cos2b+sin2b=1 结论就是：e的复数指数的模长等于实数部分的数值。

一、常系数微分方程组

不考虑耦合情况，求解以下微分方程是容易的： d u d t = u d u d t = λ u (6) \frac{du}{dt}=u \quad \frac{du}{dt}=\lambda u\tag{6} dtdu​=udtdu​=λu(6) 微分方程的解分别是： u ( t ) = C e t u ( t ) = C e λ t (7) u(t)=Ce^t\quad u(t)=Ce^{\lambda t}\tag{7} u(t)=Cetu(t)=Ceλt(7) 假如，两个微分方程组相互耦合，那么应该如何求解其微分方程组的解？看一个具体的例子：

d u 1 d t = − u 1 + 2 u 2 d u 2 d t = u 1 − 2 u 2 (8) \begin{aligned} \frac{du_1}{dt}&=-u_1+2u_2\\ \frac{du_2}{dt}&=u_1-2u_2 \end{aligned}\tag{8} dtdu1​​dtdu2​​​=−u1​+2u2​=u1​−2u2​​(8) 如何求解？两个方程相加有： d ( u 1 + u 2 ) d t = 0 ( u 1 + u 2 ) (9) \frac{d(u_1+u_2)}{dt}=0(u_1+u_2)\tag{9} dtd(u1​+u2​)​=0(u1​+u2​)(9) 上式减去两倍的下式，有： d ( u 1 − 2 u 2 ) d t = − 3 ( u 1 − 2 u 2 ) (10) \frac{d(u_1-2u_2)}{dt}=-3(u_1-2u_2)\tag{10} dtd(u1​−2u2​)​=−3(u1​−2u2​)(10) 将 u 1 + u 2 u_1+u_2 u1​+u2​看成一个整体，方程(9)对应的微分方程的解为 u 1 + u 2 = C 1 e 0 t (11) u_1+u_2=C_1e^{0t}\tag{11} u1​+u2​=C1​e0t(11) 同样，将 u 1 − 2 u 2 u_1-2u_2 u1​−2u2​看成一个整体有： u 1 − 2 u 2 = C 2 e − 3 t (12) u_1-2u_2=C_2e^{-3t}\tag{12} u1​−2u2​=C2​e−3t(12) 进行一些简单的消元操作，可以得到微分方程组的解： u 1 = 2 C 1 3 e 0 t + C 2 3 e − 3 t u 2 = C 1 3 e 0 t − C 2 3 e − 3 t (13) \begin{aligned} u_1=\frac{2C_1}{3}e^{0t}+\frac{C_2}{3}e^{-3t}\\ u_2=\frac{C_1}{3}e^{0t}-\frac{C_2}{3}e^{-3t} \end{aligned}\tag{13} u1​=32C1​​e0t+3C2​​e−3tu2​=3C1​​e0t−3C2​​e−3t​(13) 至此，微分方程组求解完毕。从求解过程可以看出：

• 求解一阶常系数微分方程组的基本方法就是通过线性变换右侧，使得左侧微分对象恰好等于组合的结果；
• 微分方程组的解是多个 e λ t e^\lambda t eλt组成的，也就是 u i = ∑ C i e λ i t x i u_i=\sum C_ie^{\lambda_it}x_i ui​=∑Ci​eλi​txi​；[1]

这个和矩阵有何关系？或许写成矩阵更加容易看出一些端倪： d d t [ u 1 u 2 ] = [ − 1 2 1 − 2 ] [ u 1 u 2 ] (14) \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} {u_1}\\ {u_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}\tag{14} dtd​[u1​u2​​]=[−11​2−2​][u1​u2​​](14) 我们微分方程组的解 u 1 u_1 u1​和 u 2 u_2 u2​看成未知数列向量： x = [ u 1 u 2 ] x=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} x=[u1​u2​​]，右侧的系数组合看成是系数矩阵 A = [ − 1 2 1 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix} A=[−11​2−2​]。一个矩阵作用于一个向量大概率会改变这个向量的方向，我们的目标是通过线性变换，这和将方程式左边的向量变成是与之同方向的向量是一样的，一旦能写成同方向的向量，这个方程就是一个容易求解的一阶线性微分方程。

啰里啰唆，其实就是想说明：我们可以利用特征值和特征向量的概念来求解微分方程组。下面来看看这个微分方程组是如何通过特征值和特征向量求解的。令 A = [ − 1 2 1 − 2 ] (15) A=\begin{bmatrix} -1&2\\ 1&-2 \end{bmatrix}\tag{15} A=[−11​2−2​](15) 容易求得其特征值： λ 1 = 0 \lambda_1=0 λ1​=0 λ 2 = − 3 \lambda_2=-3 λ2​=−3，对应的特征向量为: x 1 = [ 2 1 ] x_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} x1​=[21​]和 x 2 = [ 1 − 1 ] x_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} x2​=[1−1​]，根据通解公式有： u ( t ) = C 1 e 0 t [ 2 1 ] + C 2 e − 3 t [ 1 − 1 ] u(t)=C_1e^{0t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+C_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} u(t)=C1​e0t[21​]+C2​e−3t[1−1​] 如果给定初值： u 0 = [ 1 0 ] u_0=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} u0​=[10​]，可以确定 C 1 C_1 C1​和 C 2 C_2 C2​的具体数值。最终的解为： u ( t ) = 1 3 e 0 t [ 2 1 ] + 1 3 e − 3 t [ 1 − 1 ] u(t)=\frac{1}{3}e^{0t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\frac{1}{3}e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} u(t)=31​e0t[21​]+31​e−3t[1−1​]

也就是： u 1 ( t ) = 2 3 e 0 t + 1 3 e − 3 t u 2 ( t ) = 1 3 e 0 t − 1 3 e − 3 t u_1(t)=\frac{2}{3}e^{0t}+\frac{1}{3}e^{-3t}\\ u_2(t)=\frac{1}{3}e^{0t}-\frac{1}{3}e^{-3t} u1​(t)=32​e0t+31​e−3tu2​(t)=31​e0t−31​e−3t 微分方程的两个解的趋势如何？

• 如果特征值为0，那么该分量是一个定值与时间无关；
• 如果特征值为负实数，随着时间的推移，该分量将会趋近于0；
• 如果特征值为正实数，随着时间的推移，该分量将会变得无穷大；
• 如果特征值为负数，只需要看实数部分正负即可，同23点，复数部分只是在指明方向，一直在单位圆上转圈圈；

最后讲一下解的稳定性问题：

• 稳定性（stability）。如果定义 u ( t ) → 0 u(t)\rightarrow 0 u(t)→0为稳定状态，那么特征值应该满足什么条件？答：实数部分都小于零；(模是收敛的)
• 稳态（steady state）。存在一个特征值为0，其他特征值实部小于0；
• 震荡（blow up）。如果存在任意特征值实属部分大于零。

对于一个 2 × 2 2\times2 2×2矩阵 A = [ a b c d ] A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} A=[ac​bd​]的稳定性条件是什么？ 答：根据之前的讨论，矩阵需要满足稳定的条件是： R e λ 1 < 0 Re \lambda_1