【Matlab】曲线拟合

曲线拟合

插值与拟合的区别：

1. 实现方法：插值要求曲线穿过样本点，而拟合不需要穿过样本点，只要求总体误差最小。
2. 结果形式：插值是分段逼近样本点，没有同一的逼近函数；函数拟合则用一个函数去逼近，有完整的表达式。
3. 侧重点：插值可以用于估计区间内某些点对应的函数值；拟合不仅可以估计区间内的点，也可以预测区间外的点。
4. 应用场合：插值多用于精确数据集；拟合多用于统计数据集。

polyfit函数用于一元多次曲线拟合（亦多项式拟合），形如： y = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，我们已知 x x x、 y y y样本数据，利用此函数求解参数（系数） a a a、 b b b、 c c c、 d d d、 e e e、 f f f。

regress函数用于一元或多元线性回归（拟合），形如： y = a x 1 + b x 2 + c x 3 + d x 4 + e y=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4+e y=ax1​+bx2​+cx3​+dx4​+e，我们已知 x 1 x_1 x1​、 x 2 x_2 x2​、 x 3 x_3 x3​、 x 4 x_4 x4​、 y y y样本数据，利用此函数求解参数（系数） a a a、 b b b、 c c c、 d d d、 e e e。

polyfit函数

调用格式：

• [P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)

• [P,S]=polyfit(X,Y,m)

• P=polyfit(X,Y,m)

参数解释：

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式系数向量P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是std(X)。

x=0: 0.1: 1;
y=[-0.447, 1.978, 3.11, 5.25, 5.02, 4.66, 4.01, 4.58, 3.45, 5, 35];
p = polyfit(x, y, 3) % 三次多项式拟合
xx = 0: 0.01 : 1;
yy = polyval(p, xx) ; % 根据系数向量p计算在xx点处的函数值
plot(xx, yy, '-b', x, y, 'markersize', 20)

当还需要进行线性回归分析时，可以再利用corrcoef函数获取相关系数。

regress函数

在matlab的regress函数中置信区间bint、rint以及stats后面三个值全都为无穷大，这说明数据不服从线性关系，应考虑用非线性拟合函数来拟合。

调用格式：

• [B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)
• [B,BINT,R,RINT] = regress(Y,X)
• [B,BINT,R] = regress(Y,X)
• [B,BINT] = regress(Y,X)
• B = regress(Y,X)

参数解释：

调用该函数要保证目标函数的形式已知，比如目标函数为： y = a x 1 + b x 2 + c x 3 + d x 4 + e y=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4+e y=ax1​+bx2​+cx3​+dx4​+e，或者是 y = a x 1 2 + b x 2 2 + c x 1 + d x 2 + e x 1 × x 2 + f y = ax_1^2+bx_2^2+cx_1+dx_2+ex_1×x_2+f y=ax12​+bx22​+cx1​+dx2​+ex1​×x2​+f这样的多元多次多项式。传入参数，调用该函数后得到拟合出的系数值。

• x是一个矩阵。矩阵的每一个样本，即行数等于样本数，每个样本的每一列表示该样本在多项式中每一项除去系数之外的值。
• y是一个列向量。向量维度与矩阵行数一致，同为样本数，每一个值表示每个样本对应的函数值。

该函数根据多个样本的 x i x_i xi​和 y y y拟合出多项式的系数。

返回值解释：

• B：回归系数，即未知参数，B(1)为常数项，B(2~……)依次为X每一列（从第二列起）对应的项的系数；
• BINT：回归系数的置信区间。（置信区间：当给出某个估计值的95%置信区间为[a, b]时，可以理解为我们有95%的信心可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%）
• R：残差（残差是指观测值与预测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差）
• RINT：残差的置信区间。
• STATS：用于检验回归模型的统计量。有4个数值：判定系数 R 2 R^2 R2（度量拟合优度的统计量，R²的值越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好）， F F F统计量观测值，检验的 p p p的值（ p < 0.05 p