- 前言
- 系统建模
- 系统的马尔可夫性
- 贝叶斯滤波过程
- 预测
- 更新
- 贝叶斯滤波思想与本质
- 后记
概率论基础部分已经记录了全概率公式、贝叶斯定理、贝叶斯递推公式。这一部分将快速介绍贝叶斯滤波过程。
系统建模假设某系统具有马尔可夫性，其有噪状态观测是 Z = { z 1 , z 2 , … , z n } Z=\{ z_1,\ z_2, \ \dots, z_n \} Z={z1, z2, …,zn}，本时刻的观测是 z n z_n zn，估计本时刻系统的真实状态 x n x_n xn。
系统的马尔可夫性
所谓马尔可夫性，就是指系统当前的状态只与上一时刻的状态和控制输入有关，系统的观测只与当前的状态有关，即：
p
(
x
n
∣
x
1
:
n
−
1
,
z
1
:
n
−
1
)
=
p
(
x
n
∣
x
n
−
1
)
p
(
z
n
∣
x
1
:
n
,
z
1
:
n
−
1
)
=
p
(
z
n
∣
x
n
)
\begin{aligned} &p(x_n|x_{1:n-1},z_{1:n-1})=p(x_n|x_{n-1}) \\ &p(z_n|x_{1:n}, z_{1:n-1})=p(z_n|x_n) \end{aligned}
p(xn∣x1:n−1,z1:n−1)=p(xn∣xn−1)p(zn∣x1:n,z1:n−1)=p(zn∣xn) 为了简洁，系统没有增加控制输入
u
i
u_i
ui，但不会影响推导过程。
贝叶斯滤波包含预测和更新两个步骤。
预测所谓预测，就是通过此前的观测 z 1 : n − 1 z_{1:n-1} z1:n−1，预测本时刻的状态 x n x_n xn ： p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) = ∫ p ( x n ∣ x n − 1 , z 1 : n − 1 ) p ( x n − 1 ∣ z 1 : n − 1 ) d x n − 1 = ∫ p ( x n ∣ x n − 1 ) p ( x n − 1 ∣ z 1 : n − 1 ) d x n − 1 \begin{aligned} p(x_n|z_{1:n-1}) &= \int p(x_n|x_{n-1},z_{1:n-1})p(x_{n-1}|z_{1:n-1}) dx_{n-1} \\ & = \int p(x_n|x_{n-1})p(x_{n-1}|z_{1:n-1}) dx_{n-1} \end{aligned} p(xn∣z1:n−1)=∫p(xn∣xn−1,z1:n−1)p(xn−1∣z1:n−1)dxn−1=∫p(xn∣xn−1)p(xn−1∣z1:n−1)dxn−1 这是一个全概率公式，其含义是在预测中，通过上一时刻的状态转移概率与上一时刻的状态最优估计，预测本时刻的状态。
更新所谓更新，就是通过本时刻的预测状态 x n x_n xn，与观测状态 z n z_n zn融合，得到本时刻的状态最优估计 x n x_n xn： p ( x n ∣ z 1 : n ) = p ( z n ∣ x n , z 1 : n − 1 ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) p ( z n ∣ z 1 : n − 1 ) ( 1 ) = p ( z n ∣ x n ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) ∫ p ( z n ∣ x n , z 1 : n − 1 ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) d x n ( 2 ) = p ( z n ∣ x n ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) ∫ p ( z n ∣ x n ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) d x n ( 3 ) \begin{aligned} p(x_n|z_{1:n}) & = \frac {p(z_n|x_n,z_{1:n-1})p(x_n|z_{1:n-1})} {p(z_n|z_{1:n-1})} &\quad (1)\\ & =\frac {p(z_n|x_n)p(x_n|z_{1:n-1})} {\int p(z_n|x_n,z_{1:n-1})p(x_n|z_{1:n-1})dx_n} &\quad (2) \\ & = \frac {p(z_n|x_n)p(x_n|z_{1:n-1})} {\int p(z_n|x_n)p(x_n|z_{1:n-1})dx_n} &\quad (3) \end{aligned} p(xn∣z1:n)=p(zn∣z1:n−1)p(zn∣xn,z1:n−1)p(xn∣z1:n−1)=∫p(zn∣xn,z1:n−1)p(xn∣z1:n−1)dxnp(zn∣xn)p(xn∣z1:n−1)=∫p(zn∣xn)p(xn∣z1:n−1)dxnp(zn∣xn)p(xn∣z1:n−1)(1)(2)(3) 以上(1)是贝叶斯定理，(2)中的分母是全概率公式，(3)是马尔可夫性。
到这里，本时刻n的贝叶斯滤波就结束了，本时刻的状态最优估计 x n x_n xn将用于下一时刻的预测和更新。
贝叶斯滤波思想与本质把目光放在状态更新方程上： p ( x n ∣ z 1 : n ) = p ( z n ∣ x n ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) ∫ p ( z n ∣ x n ) p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) d x n p(x_n|z_{1:n}) = \frac {p(z_n|x_n)p(x_n|z_{1:n-1})} {\int p(z_n|x_n)p(x_n|z_{1:n-1})dx_n} p(xn∣z1:n)=∫p(zn∣xn)p(xn∣z1:n−1)dxnp(zn∣xn)p(xn∣z1:n−1) 用贝叶斯的思想来看， p ( x n ∣ z 1 : n ) p(x_n|z_{1:n}) p(xn∣z1:n)是后验概率， p ( x n ∣ z 1 : n − 1 ) p(x_n|z_{1:n-1}) p(xn∣z1:n−1)是先验概率， p ( z n ∣ x n ) p(z_n|x_n) p(zn∣xn)是似然。而这三者对应的是状态最优估计、状态预测、状态观测。
同时，先验又是上一时刻的后验的衍生。
于是贝叶斯滤波的本质一目了然：在一条马尔可夫链（系统状态）上，做贝叶斯递推估计。
后记终于把贝叶斯滤波理清了，下次从贝叶斯滤波的角度上，理解卡尔曼滤波。
