线性代数之 向量范数

前言

向量范数常用于衡量向量、矩阵的长度以及距离。

范数

对于向量 X = [ x 1 , x 2 , … , x n ] X=[x_1,x_2,\dots,x_n] X=[x1​,x2​,…,xn​]而言。

0-范数

∥ X ∥ 0 = ∑ i n 1 ∗ ( x i ≠ 0 ) \Vert X \Vert_0 = \sum_i^n 1^*(x_i \ne 0) ∥X∥0​=i∑n​1∗(xi​​=0)

1-范数

∥ X ∥ 1 = ∑ i n ∣ x i ∣ \Vert X \Vert_1 = \sum_i^n\vert x_i \vert ∥X∥1​=i∑n​∣xi​∣

2-范数

∥ X ∥ 2 = ∑ i n ∣ x i ∣ 2 \Vert X \Vert_2 = \sqrt {\sum_i^n\vert x_i \vert ^2} ∥X∥2​=i∑n​∣xi​∣2 ​

p-范数

∥ X ∥ p = ( ∑ i n ∣ x i ∣ p ) 1 p \Vert X \Vert_p = (\sum_i^n \vert x_i \vert ^p)^{\frac{1}{p}} ∥X∥p​=(i∑n​∣xi​∣p)p1​

∞ \infin ∞-范数

∥ X ∥ ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ \Vert X \Vert_{\infin} = \max_i \vert x_i \vert ∥X∥∞​=imax​∣xi​∣

− ∞ -\infin −∞-范数

∥ X ∥ − ∞ = min ⁡ i ∣ x i ∣ \Vert X \Vert_{-\infin} = \min_i \vert x_i \vert ∥X∥−∞​=imin​∣xi​∣

总结

0-范数、1-范数、2范数、 ∞ \infin ∞范数又称L0范数、L1范数、L2范数和L ∞ _\infin ∞​范数。

L0范数是向量中非零分量的个数。

L1、L2、L ∞ _\infin ∞​范数都是p-范数的具体取值。