- 向量的内积
- 向量的外积
- 向量的长度
- 向量正交
- 正交矩阵
- 正交矩阵的扩展
对于列向量 a , b ∈ R n a,b\in R^n a,b∈Rn，其内积（点积）表示为： a ⋅ b = a T b = b T a = ∑ i = 1 n a i b i a \cdot b = a^Tb=b^Ta=\sum_{i=1}^n a_ib_i a⋅b=aTb=bTa=i=1∑naibi
向量的外积这里仅讨论三维向量空间中的外积。
对于列向量 a , b ∈ R 3 a,b\in R^3 a,b∈R3，其外积（叉积）表示为： a × b = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] b = a ∧ b a ∧ = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] a \times b= \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 &b_3 \\ \end{vmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 &0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \\ \end{bmatrix}b =a{^\land}b \\ \quad \\ a^\land = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 &0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \\ \end{bmatrix} a×b=∣∣∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣∣∣=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤b=a∧ba∧=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤ 将 a ∧ a^\land a∧称为向量 a a a对应的反对称矩阵。
向量的长度将向量 a a a的2-范数称为其长度： ∣ a ∣ = ∥ a ∥ 2 = ∑ i = 1 n a i 2 = a ⋅ a = a T a |a| = \Vert a \Vert_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}=\sqrt {a\cdot a}=\sqrt {a^Ta} ∣a∣=∥a∥2=i=1∑nai2 =a⋅a =aTa 长度为1的向量是单位向量。
向量正交如果向量 a , b a,b a,b有 a ⋅ b = 0 a \cdot b=0 a⋅b=0 则称向量 a , b a,b a,b正交。
如果向量组 S = { v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n } S=\{\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n\} S={v 1,v 2,…,v n}中任意两个不同的向量都正交，则称为正交向量组。
如果正交向量组 S S S是由非零向量构成的，则 S S S是一个线性无关向量组。
证明： 假 设 一 组 非 全 零 系 数 k 1 , k 2 , … , k n 满 足 线 性 相 关 k 1 v ⃗ 1 + k 2 v ⃗ 2 + ⋯ + k n v ⃗ n = 0 ⃗ v ⃗ 1 ⋅ ( k 1 v ⃗ 1 + k 2 v ⃗ 2 + ⋯ + k n v ⃗ n ) = 0 k 1 v ⃗ 1 ⋅ v ⃗ 1 = 0 k 1 = 0 同 理 ， k 1 , k 2 , … , k n = 0 因 此 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n 线 性 无 关 。 假设一组非全零系数k_1,k_2,\dots ,k_n满足线性相关 \\ \quad \\ k_1\vec v_1+k_2\vec v_2 + \dots+k_n\vec v_n=\vec0 \\ \vec v_1\cdot(k_1\vec v_1+k_2\vec v_2 + \dots+k_n\vec v_n)=0 \\ k_1\vec v_1 \cdot \vec v_1=0 \\ k_1=0 \\ \quad \\ 同理，k_1,k_2,\dots ,k_n=0 \\ 因此\vec v_1,\vec v_2,\dots,\vec v_n线性无关。 假设一组非全零系数k1,k2,…,kn满足线性相关k1v 1+k2v 2+⋯+knv n=0 v 1⋅(k1v 1+k2v 2+⋯+knv n)=0k1v 1⋅v 1=0k1=0同理，k1,k2,…,kn=0因此v 1,v 2,…,v n线性无关。 推论：非零正交向量组 S S S是 S S S生成的向量空间的一个正交基。
定义：如果非零正交向量组 S S S是由单位向量构成的，则称 S S S是 S S S生成的向量空间的单位正交基。
正交矩阵定义：n阶方阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} A∈Rn×n如果满足 A A T = E AA^T=E AAT=E，则称 A A A是正交矩阵。
性质0： A A A是正交矩阵，则 A A A可逆，并且行列式值为1或-1。 证明： ∣ A A T ∣ = ∣ A ∣ 2 = 1 , ∣ A ∣ = ± 1 |AA^T|=|A|^2=1,|A|=\pm 1 ∣AAT∣=∣A∣2=1,∣A∣=±1
性质1： A A A是正交矩阵，则 A T A^T AT也是正交矩阵。 证明： A A T = E , A T = A − 1 , A T A = E AA^T=E,A^T=A^{-1},A^TA=E AAT=E,AT=A−1,ATA=E
性质2： A A A是正交矩阵，则 A A A的列（行）向量组是单位正向量交组。 证明： A = ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) A T A = ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) T ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) = [ a ⃗ 1 T a ⃗ 1 a ⃗ 1 T a ⃗ 2 … a ⃗ 1 T a ⃗ n a ⃗ 2 T a ⃗ 1 a ⃗ 2 T a ⃗ 2 … a ⃗ 2 T a ⃗ n … … … … a ⃗ n T a ⃗ 1 a ⃗ n T a ⃗ 2 … a ⃗ n T a ⃗ n ] = E a ⃗ i T a ⃗ i = 1 , a ⃗ i T a ⃗ j = 0 , i ≠ j A=(\vec a_1, \vec a_2,\dots ,\vec a_n) \\ A^TA=(\vec a_1, \vec a_2,\dots ,\vec a_n)^T (\vec a_1, \vec a_2,\dots ,\vec a_n) \\ =\begin{bmatrix} \vec a_1^T\vec a_1 & \vec a_1^T\vec a_2 & \dots &\vec a_1^T\vec a_n \\ \vec a_2^T\vec a_1 & \vec a_2^T\vec a_2 & \dots &\vec a_2^T\vec a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \vec a_n^T\vec a_1 & \vec a_n^T\vec a_2 & \dots &\vec a_n^T\vec a_n \\ \end{bmatrix} = E \\ \quad \\ \vec a_i^T\vec a_i=1, \vec a_i^T\vec a_j=0,i\ne j A=(a 1,a 2,…,a n)ATA=(a 1,a 2,…,a n)T(a 1,a 2,…,a n)=⎣⎢⎢⎡a 1Ta 1a 2Ta 1…a nTa 1a 1Ta 2a 2Ta 2…a nTa 2…………a 1Ta na 2Ta n…a nTa n⎦⎥⎥⎤=Ea iTa i=1,a iTa j=0,i=j 注： A A A是正交矩阵， A A A的列(行)向量组是单位正交组，是一对充分必要条件。
正交矩阵的扩展对于矩阵 A ∈ R m × n ， A T A = E A\in R^{m\times n}，A^TA=E A∈Rm×n，ATA=E的充分必要条件是 A A A的列向量是单位正交组。证明与上面一模一样。
性质： A ∈ R m × n , A T A = E , x , y ∈ R n A\in R^{m\times n},A^TA=E, x,y\in R^n A∈Rm×n,ATA=E,x,y∈Rn，则 ( A x ) ⋅ ( A y ) = x ⋅ y ∥ A x ∥ = ∥ x ∥ (Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y \\ \Vert Ax \Vert=\Vert x \Vert (Ax)⋅(Ay)=x⋅y∥Ax∥=∥x∥ 表明具有单位正交列向量组的矩阵 A A A，其线性变换 A x Ax Ax能够保持 x x x的长度和正交性。
证明： ( A x ) ⋅ ( A y ) = x T A T A y = x T y = x ⋅ y ∥ A x ∥ = ( A x ) ⋅ ( A x ) = x T x = ∥ x ∥ (Ax)\cdot (Ay)=x^TA^TAy=x^Ty=x\cdot y \\ \Vert Ax \Vert = \sqrt{(Ax)\cdot (Ax)}= \sqrt{x^Tx}=\Vert x \Vert (Ax)⋅(Ay)=xTATAy=xTy=x⋅y∥Ax∥=(Ax)⋅(Ax) =xTx =∥x∥
