数值计算之 插值法（1）多项式插值——拉格朗日插值法

前言

移动机器人有一个非常重要的任务，轨迹规划。轨迹规划需要满足运动学原理，即在路径规划给出路点后，必须把路点平滑成光滑的轨迹，才能让机器人循迹移动。

平滑的方法可以采用数值计算中的插值法或者拟合法。

常用的插值方法可分为多项式插值法和分段插值法，还有一种三角插值法，适用于具有周期的函数插值，但是比较少见。

什么是插值

插值：假设某个表达式未知的函数 f ( x ) f(x) f(x)，知道它在某些点的取值，求一个有具体表达式的函数 P ( x ) P(x) P(x)，使得 P ( x ) P(x) P(x)在这些点上的取值与 f ( x ) f(x) f(x)相同： u n k n o w n : f ( x ) , x ∈ [ a , b ] k n o w n : y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) , … , y n = f ( x n ) a ≤ x 1 < x 2 < ⋯ < x n ≤ b f i n d : P ( x ) , x ∈ [ a . b ] s . t . y 1 = P ( x 1 ) , y 2 = P ( x 2 ) , … , y n = P ( x n ) unknown: \quad f(x),x\in[a,b] \\ \quad \\ known: \quad y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),\dots,y_n=f(x_n) \\ \\ \quad \\ a\le x_1