矩阵分析之 实矩阵分解（5）矩阵分解法总结

前言

之前的四篇内容分别介绍了特征分解，SVD分解，LU和PLU分解，Cholesky分解，满秩分解和QR分解，现在来进行总结。

特征分解（谱分解）

对于n阶方阵A，如果具有n个线性无关的特征向量，则可以进行特征分解： A = P Λ P − 1 A=P\Lambda P^{-1} A=PΛP−1 其中， P P P是 A A A的特征向量组成的矩阵， Λ \Lambda Λ是 P P P对应的特征值对角矩阵。

特征分解的速度一般，精度一般。当特征值固定从大到小排列时，分解结果唯一。

SVD分解

对于任意矩阵 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} A∈Rm×n，都可以进行SVD奇异值分解： A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT 其中， U ∈ R m × m U\in R^{m\times m} U∈Rm×m是 A A T AA^T AAT的正交对角化的正交矩阵， V ∈ R n × n V\in R^{n\times n} V∈Rn×n是 A A T AA^T AAT是 A T A A^TA ATA的正交对角化的正交矩阵， Σ ∈ R m × n = [ d i a g { λ A T A } 0 ] , m > n ; Σ ∈ R m × n = [ d i a g { λ A A T } 0 ] , m < n \Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{A^TA}\} \\ 0 \end{bmatrix},m>n;\Sigma\in R^{m\times n}=\begin{bmatrix} diag\{\sqrt\lambda_{AA^T}\} \quad 0 \end{bmatrix},mn;Σ∈Rm×n=[diag{λ ​AAT​}0​],m