线性代数之 向量空间几何学（1）仿射

前言

本章是线性代数最后一节内容，向量空间与几何学。

仿射组合

定义仿射组合：对于 R n R^n Rn中的向量 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 … , v ⃗ p \vec v_1, \vec v_2\dots,\vec v_p v 1​,v 2​…,v p​，其仿射组合是一种特殊的线性组合，满足 y = c 1 v ⃗ 1 + c 2 v ⃗ 2 + ⋯ + c p v ⃗ p , c 1 + c 2 + ⋯ + c p = 1 y=c_1\vec v_1+c_2\vec v_2+\dots +c_p\vec v_p,c_1+c_2+\dots+c_p=1 y=c1​v 1​+c2​v 2​+⋯+cp​v p​,c1​+c2​+⋯+cp​=1

定义仿射包：对于某个向量集合 S S S，其所有仿射组合的集合称为 S S S的仿射包，记为 a f f S {\bf aff} S affS

定理： y ∈ R n , S ⊂ R n y\in R^n,S\subset R^n y∈Rn,S⊂Rn，则 y y y是 S S S的仿射组合的充要条件为 y − v 1 y-v_1 y−v1​是 v 2 − v 1 , v 3 − v 1 , … , v n − v 1 v_2-v_1,v_3-v_1,\dots ,v_n-v_1 v2​−v1​,v3​−v1​,…,vn​−v1​的线性组合。将 v 1 v_1 v1​换成任意 v i ∈ S v_i\in S vi​∈S都成立。

证明： 充 分 性 ： y − v i = a 1 ( v 1 − v i ) + a 2 ( v 2 − v i ) + ⋯ + a n ( v n − v i ) y = v i ( 1 − a 1 − a 2 − ⋯ − a n ) + a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n 必 要 性 ： 将 充 分 性 中 的 顺 序 换 一 下 就 O K 充分性：\\y-v_i=a_1(v_1-v_i)+a_2(v_2-v_i)+\dots +a_n(v_n-v_i) \\ y = v_i(1-a_1-a_2-\dots-a_n)+a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n \\ 必要性：\\ 将充分性中的顺序换一下就OK 充分性：y−vi​=a1​(v1​−vi​)+a2​(v2​−vi​)+⋯+an​(vn​−vi​)y=vi​(1−a1​−a2​−⋯−an​)+a1​v1​+a2​v2​+⋯+an​vn​必要性：将充分性中的顺序换一下就OK

定义仿射集： ∀ t ∈ R , p , q ∈ S , ( 1 − t ) p + q ∈ S \forall t\in R,p,q\in S,(1-t)p+q\in S ∀t∈R,p,q∈S,(1−t)p+q∈S，则 S S S是一个仿射集。

定义仿射集2：如果 S S S中的所有仿射组合都属于 S S S，即 a f f S ⊆ S {\bf aff}S\subseteq S affS⊆S，称 S S S为仿射集。

定理：仿射集 S = a f f S S={\bf aff}S S=affS。 证明： ∵ a f f S ⊆ S , S ⊆ a f f S , ∴ S = a f f S \because {\bf aff}S\subseteq S,S\subseteq {\bf aff}S,\therefore S={\bf aff}S ∵affS⊆S,S⊆affS,∴S=affS

仿射组合与向量空间

定义向量空间中集合的平移： S ⊆ R n , p ∈ R n , S + p = { s + p ∣ s ∈ S } S\subseteq R^n,p\in R^n,S+p=\{s+p|s\in S \} S⊆Rn,p∈Rn,S+p={s+p∣s∈S}，称为集合 S S S的平移。

定义向量空间中的平面： R n R^n Rn中的平面是 R n R^n Rn的一个子空间的平移。如果一个平面是另一个平面的平移，则两平面平行。平面的维数是对应的平行子空间的维数。集合 S S S的维数是包含 S S S的最小平面的维数。

定义向量空间中的直线和超平面： R n R^n Rn中的一条直线是维数为1的平面，一个超平面是维数为n-1的平面。

定理（仿射集的几何意义）：非空集合 S S S是仿射集的充要条件是 S S S是一个平面。也就是说，集合中的点的所有仿射组合构成了平面。

定义齐次形式：对于向量 v ∈ R n v\in R^n v∈Rn，其齐次形式为 v ~ = [ v 1 ] \tilde v=\begin{bmatrix} v \\ 1 \end{bmatrix} v~=[v1​]。

定理： y ∈ R n 是 v 1 , v 2 , … , v p ∈ R n y\in R^n是v_1,v_2,\dots, v_p\in R^n y∈Rn是v1​,v2​,…,vp​∈Rn的一个仿射组合的充要条件是 y ~ ∈ S p a n { v 1 , v 2 , … , v p } \tilde y\in Span\{v_1,v_2,\dots,v_p\} y~​∈Span{v1​,v2​,…,vp​}。 证明： 充 分 性 ： y ~ = [ y 1 ] = a 1 [ v 1 1 ] + a 2 [ v 2 1 ] + ⋯ + a p [ v p 1 ] → y = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a p v p , ∑ i = 1 p a i = 1 必 要 性 ： 上 面 反 过 来 推 就 行 了 充分性：\\ \tilde y=\begin{bmatrix} y \\ 1 \end{bmatrix}=a_1 \begin{bmatrix} v_1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_2\begin{bmatrix} v_2 \\ 1 \end{bmatrix} + \dots + a_p\begin{bmatrix} v_p \\ 1 \end{bmatrix} \\ \to y=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_pv_p,\sum_{i=1}^p a_i = 1 \\必要性：\\ 上面反过来推就行了 充分性：y~​=[y1​]=a1​[v1​1​]+a2​[v2​1​]+⋯+ap​[vp​1​]→y=a1​v1​+a2​v2​+⋯+ap​vp​,i=1∑p​ai​=1必要性：上面反过来推就行了

仿射无关性

定义仿射相关：对于指标点集（不同下标可能表示相同点的集合） S S S，如果存在不全为零的 c 1 , c 2 , … , c p , c 1 + c 2 + ⋯ + c p = 0 , c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 c_1,c_2,\dots,c_p,c_1+c_2+\dots+c_p=0,c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n=0 c1​,c2​,…,cp​,c1​+c2​+⋯+cp​=0,c1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​=0，称 S S S是仿射相关的。仿射相关是线性相关的特殊情况。

由仿射相关的定义可知，单点集 v 1 v_1 v1​仿射无关，两点集 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1​,v2​必须表示同一点才仿射相关。

定理：以下命题同真同假：① S S S仿射相关；② S S S中有一个点是其它点的一个仿射组合；③ { v 1 − v i , v 2 − v i , … , v i − 1 − v i , v i + 1 − v i , v n − v i } \{v_1-v_i,v_2-v_i,\dots,v_{i-1}-v_i,v_{i+1}-v_i,v_n-v_i \} {v1​−vi​,v2​−vi​,…,vi−1​−vi​,vi+1​−vi​,vn​−vi​}是线性相关的；④ { v ~ 1 , v ~ 2 , … , v ~ n } \{\tilde v_1,\tilde v_2,\dots,\tilde v_n\} {v~1​,v~2​,…,v~n​}是线性相关的。

现在假设①真，证明其它三项： c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 , c 1 + c 2 + ⋯ + c n = 0 证 明 2 ： i f c i ≠ 0 c i v i = − ∑ j = 1 , j ≠ i n c j v j v i = − ∑ j = 1 , j ≠ i n c j c i v j v i + ∑ j = 1 , j ≠ i n c j c i v j = 0 1 + ∑ j = 1 , j ≠ i n c j c i = 1 − c i c i = 0 证 明 3 ： v i = ∑ j = 1 , j ≠ i n c j v j , ∑ j = 1 , j ≠ i n c j = 1 ∑ j = 1 , j ≠ i n c j v i = ∑ j = 1 , j ≠ i n c j v j ∑ j = 1 , j ≠ i n c j ( v j − v i ) = 0 证 明 4 ： ∑ j = 1 n c j = 0 , ∑ j = 1 n c j v j = 0 ∑ j = 1 n v ~ = [ ∑ j = 1 n c j ∑ j = 1 n c j v j ] = [ 0 0 ] c_1v_1+c_2v_2+\dots + c_nv_n=0,c_1+c_2+\dots+c_n=0 \\ \quad \\证明2：\\ \quad \\ if \quad c_i\ne0 \\ c_iv_i=-\sum_{j=1,j\ne i}^nc_jv_j \\ v_i = -\sum_{j=1,j\ne i}^n \frac{c_j}{c_i}v_j \\ v_i + \sum_{j=1,j\ne i}^n \frac{c_j}{c_i}v_j = 0 \\ 1+ \sum_{j=1,j\ne i}^n \frac{c_j}{c_i}=1-\frac{c_i}{c_i}=0\\ \quad \\ 证明3：\\ \quad \\ v_i = \sum_{j=1,j\ne i}^n c_jv_j,\sum_{j=1,j\ne i}^nc_j=1 \\ \sum_{j=1,j\ne i}^nc_jv_i = \sum_{j=1,j\ne i}^n c_jv_j \\ \sum_{j=1,j\ne i}^n c_j(v_j-v_i) = 0\\ \quad \\ 证明4： \\ \quad \\ \sum_{j=1}^n c_j=0, \sum_{j=1}^n c_jv_j=0 \\ \sum_{j=1}^n \tilde v=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^n c_j \\ \sum_{j=1}^n c_jv_j\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} c1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​=0,c1​+c2​+⋯+cn​=0证明2：ifci​​=0ci​vi​=−j=1,j​=i∑n​cj​vj​vi​=−j=1,j​=i∑n​ci​cj​​vj​vi​+j=1,j​=i∑n​ci​cj​​vj​=01+j=1,j​=i∑n​ci​cj​​=1−ci​ci​​=0证明3：vi​=j=1,j​=i∑n​cj​vj​,j=1,j​=i∑n​cj​=1j=1,j​=i∑n​cj​vi​=j=1,j​=i∑n​cj​vj​j=1,j​=i∑n​cj​(vj​−vi​)=0证明4：j=1∑n​cj​=0,j=1∑n​cj​vj​=0j=1∑n​v~=[∑j=1n​cj​∑j=1n​cj​vj​​]=[00​]

定理：对于一个仿射无关集 S S S， ∀ v ∈ a f f S \forall v \in {\bf aff}S ∀v∈affS，其仿射组合 v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c p v p v=c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_pv_p v=c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​的系数是唯一确定的。称 c 1 , c 2 , … , c n c_1,c_2,\dots,c_n c1​,c2​,…,cn​是 v v v的仿射坐标。

总结

仿射组合：某个向量是另外几个向量的线性组合，且系数和为1。 仿射包：向量集或点集的所有元素的所有仿射组合。 仿射集：集合中任意元素的仿射组合都在本集合中。

向量空间的平面：子空间的平移 向量空间的直线：维数为1的平面 向量空间的超平面：维数为n-1的平面 仿射集=空间平面

仿射相关：向量线性相关，且系数和为0 仿射相关，则其中有至少一个向量是其它向量的仿射组合 仿射无关组的仿射组合的系数固定，系数被称为仿射坐标。