机器人学导论 二、正运动学，MDH法

前言

本篇学习机械臂的正运动学，MDH法。

关节与连杆

关节joint，连杆link，是机械臂的基本组成结构。

关节包括转动关节和移动关节，一般仅有一个自由度。

一个关节把相邻两连杆连接，n个关节把n+1个连杆连接起来，具有n个自由度。

编号

把固定基座作为第0个连杆，机械臂末端的连杆作为第n个连杆。

连杆参数 连杆的描述

两个相邻关节轴之间的公垂线的长度，称为连杆的长度。

两个相邻关节轴之间形成的角度，称为连杆的转角。 上图中，连杆i-1的长度是其近端关节轴i-1与远端关节轴i之间的公垂线长度 a i − 1 a_{i-1} ai−1​

连杆i-1的转角是其近端关节轴i-1与远端关节轴i形成的角度 α i − 1 \alpha_{i-1} αi−1​，至于角度的正负号，可以根据后面建立坐标系时再确定。

连杆连接的描述

两个相邻连杆之间的距离，称为连杆偏距。

两个相邻连杆绕公共关节轴旋转的夹角，称为关节角。

上图中，关节i是连杆i-1和连杆i的公共关节。

由于实际的连杆是弯曲的，可以将公垂线段 a i − 1 a_{i-1} ai−1​和 a i a_i ai​ 看作代替曲连杆的直连杆i-1,i。

直连杆i-1,i之间的距离是关节i的连杆偏距 d i d_i di​

直连杆i-1沿关节轴i旋转到直连杆i的角度是关节角 θ i \theta_i θi​

关节变量

一个连杆可以使用上面的连杆长度、连杆转角、连杆偏距、关节角四个参数确定。

对于转动关节，关节角可变，另三个参数不变。

对于移动关节，连杆偏距可变，另三个参数不变。

可变的参数称为关节变量。

连杆坐标系

连杆坐标系用于描述相邻连杆之间的相对位置关系。

连杆坐标系编号与连杆编号相同，称为 { i } \{i\} {i}。

中间连杆坐标系建立

为连杆i建立坐标系：

以关节轴i作为Z轴，以连杆i与Z轴的交点作为原点，以连杆i作为X轴指向关节轴i+1，以右手定则确定Y轴。

例外：如果连杆i的长度 a i = 0 a_i=0 ai​=0（此时连杆i,i+1的Z轴相交），以交点作为原点，以两个Z轴所在平面的垂线作为X轴，方向可以有两种选择，而 α i \alpha_i αi​的符号就由X轴方向决定。

每个坐标轴的建立都要满足右手定则。 上图中，可以按这个顺序来建立坐标系：

首先找到所有的关节轴i-1,i

然后确定坐标系 { i − 1 } \{i-1\} {i−1}，以关节轴作为 Z ^ i − 1 \hat Z_{i-1} Z^i−1​，直连杆i-1作为 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​，再右手定则确定 Y ^ i − 1 \hat Y_{i-1} Y^i−1​。

然后确定坐标系 { i } \{i\} {i}。

首尾连杆坐标系建立

对于首尾连杆0,n，有特殊的建系方法。

首坐标系

坐标系 { 0 } \{0\} {0}在基座上，一般作为参考系。

第一个关节变量为0时，规定坐标系 { 0 } \{0\} {0}于 { 1 } \{1\} {1}重合。

当第一个关节为转动关节， d 1 = 0 d_1=0 d1​=0;第一个关节为移动关节， θ 1 = 0 \theta_1=0 θ1​=0

尾坐标系

坐标系 { n } \{n\} {n}的原点和x轴方向可以任意选取，但要尽量使得连杆参数为0。

连杆参数与连杆坐标系

按照上面的建系方法，可以把连杆参数重新定义：

• a i a_i ai​连杆长度：沿 X ^ i \hat X_i X^i​，从 Z ^ i \hat Z_i Z^i​移动到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1​的距离
• α i \alpha_i αi​连杆扭转角：绕 X ^ i \hat X_i X^i​轴，把 Z ^ i \hat Z_i Z^i​旋转到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1​的角度
• d i d_i di​连杆偏距：沿 Z ^ i \hat Z_i Z^i​，从 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​移动到 X ^ i 1 \hat X_{i1} X^i1​的距离
• θ i \theta_i θi​关节角：绕 Z ^ i \hat Z_i Z^i​轴，把 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​旋转到 X ^ i \hat X_{i} X^i​的角度

设定 a i > 0 a_i>0 ai​>0，其它参数可正可负。

上面建立连杆坐标系和连杆参数的方式称为MDH法(Modified Denavit–Hartenberg)。

DH法建立的坐标系并不是唯一的。

连杆变换

连杆参数可用于相邻杆之间的相对位姿计算。 上图中，考虑坐标系 { i − 1 } , { i } \{i-1\},\{i\} {i−1},{i}之间的变换 i − 1 i T ^i_{i-1}T i−1i​T，建立中间坐标系 { P } , { Q } , { R } \{P\},\{Q\},\{R\} {P},{Q},{R}，则有： i i − 1 T =   R i − 1 T   Q R T   P Q T   i P T ^{i-1}_iT = \ ^{i-1}_RT \ ^R_{Q}T \ ^Q_PT \ ^P_{i}T ii−1​T= Ri−1​T QR​T PQ​T iP​T 上面的变换，可以看作是把 X ^ i \hat X_i X^i​变换为 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​，则有： i i − 1 T = R X ( α i − 1 ) D X ( a i − 1 ) R Z ( θ i ) D Z ( d i ) ^{i-1}_iT = R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(\theta_i)D_Z(d_i) ii−1​T=RX​(αi−1​)DX​(ai−1​)RZ​(θi​)DZ​(di​) 或者将每个中间坐标系的变换都写出来： i P T = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d i 0 0 0 1 ]   P Q T = [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 0 0 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   Q R T = [ 1 0 0 0 0 1 0 a i − 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   R i − 1 T = [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ α i − 1 − sin ⁡ α i − 1 0 0 sin ⁡ α i − 1 cos ⁡ α i − 1 0 0 0 0 1 ] ^P_iT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^Q_PT = \begin{bmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 & 0 & 0 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^R_QT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a_{i-1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^{i-1}_RT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha_{i-1} & -\sin \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & \sin \alpha_{i-1} & \cos \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ iP​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​00di​1​⎦⎥⎥⎤​ PQ​T=⎣⎢⎢⎡​cosθ1​sinθ1​00​−sinθ1​cosθ1​00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​ QR​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​0ai−1​01​⎦⎥⎥⎤​ Ri−1​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosαi−1​sinαi−1​0​0−sinαi−1​cosαi−1​0​0001​⎦⎥⎥⎤​ 得到 i i − 1 T ^{i-1}_iT ii−1​T的一般形式：

MDH法使用步骤

1. 找到所有关节轴；
2. 按顺序依次建立中间连杆的坐标系；
3. 确定首尾坐标系；
4. 写出DH参数；
5. 计算正运动学矩阵。

后记

本篇是机器人学中的正运动学，采用的是MDH法。

后续会有Matlab示例编程。