KD-Tree原理详解

目录

1、简介

2、原理

2.1、数据结构

2.2、构建kd-tree

例子

2.3、最近邻检索

3、常用函数

4、参考文献

kd-tree是在进行激光点云编程中经常使用的一个工具，我们平时使用的时候可能就是使用其中的一小部分的内容，并未对其进行很深的思考。那么kd-tree的原理到底是什么呢？我们又经常使用哪些常用函数呢？

本片文章将对kd-tree进行细致的整理，方便以后的使用和阅读。

1、简介

kd-tree简称k维树，是一种空间划分的数据结构。常被用于高维空间中的搜索，比如范围搜索和最近邻搜索。kd-tree是二进制空间划分树的一种特殊情况  。

在激光雷达SLAM中，一般使用的是三维点云。所以，kd-tree的维度是3。

由于三维点云的数目一般都比较大，所以，使用kd-tree来进行检索，可以减少很多的时间消耗，可以确保点云的关联点寻找和配准处于实时的状态。

本篇文章将从原理层面讲解kd-tree，以便大家在使用中，可以有着更深刻的理解。

2、原理 2.1、数据结构

kd-tree，是k维的二叉树。其中的每一个节点都是k维的数据，数据结构如下所示  ：

struct kdtree{
    Node-data - 数据矢量   数据集中某个数据点，是n维矢量（这里也就是k维）
    Range     - 空间矢量   该节点所代表的空间范围
    split     - 整数       垂直于分割超平面的方向轴序号
    Left      - kd树       由位于该节点分割超平面左子空间内所有数据点所构成的k-d树
    Right     - kd树       由位于该节点分割超平面右子空间内所有数据点所构成的k-d树
    parent    - kd树       父节点  
}

上面的数据在进行算法解析中，并不是全部都会用到。一般情况下，会用到的数据是{数据矢量，切割轴号，左支节点，右支节点}。这些数据就已经满足kd-tree的构建和检索了。

2.2、构建kd-tree

kd-tree的构建就是按照某种顺序将无序化的点云进行有序化排列，方便进行快捷高效的检索。

构建算法：

Input:  无序化的点云，维度k
Output：点云对应的kd-tree
Algorithm：
1、初始化分割轴：对每个维度的数据进行方差的计算，取最大方差的维度作为分割轴，标记为r；
2、确定节点：对当前数据按分割轴维度进行检索，找到中位数数据，并将其放入到当前节点上；
3、划分双支：
    划分左支：在当前分割轴维度，所有小于中位数的值划分到左支中；
    划分右支：在当前分割轴维度，所有大于等于中位数的值划分到右支中。
4、更新分割轴：r = (r + 1) % k;
5、确定子节点：
    确定左节点：在左支的数据中进行步骤2；
    确定右节点：在右支的数据中进行步骤2；

这样的化，就可以构建出一颗完整的kd-tree了。

例子

拿个例子说明为：

二维样例：{（2,3），（5,4），（9,6），（4,7），（8,1），（7,2）}

构建步骤：

1、初始化分割轴：

发现x轴的方差较大，所以，最开始的分割轴为x轴。

2、确定当前节点：

对{2，5，9，4，8，7}找中位数，发现{5,7}都可以，这里我们选择7，也就是(7,2);

3、划分双支数据：

在x轴维度上，比较和7的大小，进行划分：

左支：{(2,3)，(5,4)，(4,7)}

右支：{(9,6)，(8,1)}

4、更新分割轴：

一共就两个维度，所以，下一个维度是y轴。

5、确定子节点：

左节点：在左支中找到y轴的中位数(5,4)，左支数据更新为{(2,3)}，右支数据更新为{(4,7)}

右节点：在右支中找到y轴的中位数(9,6)，左支数据更新为{(8,1)}，右支数据为null。

6、更新分割轴：

下一个维度为x轴。

7、确定(5,4)的子节点：

左节点：由于只有一个数据，所以，左节点为(2,3)

右节点：由于只有一个数据，所以，右节点为(4,7)

8、确定(9,6)的子节点：

左节点：由于只有一个数据，所以，左节点为(8,1)

右节点：右节点为空。

最终，就可以构建整个的kd-tree了。

示意图如下所示  ：

二维空间表示：

二维坐标系下的分割示意图

kd-tree表示：

构建kd-tree

2.3、最近邻检索

在构建了完整的kd-tree之后，我们想要使用他来进行高维空间的检索。所以，这里讲解一下比较常用的最近邻检索，其中范围检索也是同样的道理。

最近邻搜索，其实和之前我们曾经学习过的KNN很像。不过，在激光点云章，如果使用常规的KNN算法的话，时间复杂度会空前高涨。因此，为了减少时间消耗，在工程上，一般使用kd-tree进行最近邻检索。

由于kd-tree已经按照维度进行划分了，所以，我们在进行比较的时候，也可以通过维度进行比较，来快速定位到与其最接近的点。由于可能会进行多个最近邻点的检索，所以，算法也可能会发生变化。因此，我将从最简单的一个最近邻开始说起。

• 一个最近邻

一个最近邻其实很简单，我们只需要定位到对应的分支上，找到最接近的点就可以了。

举个例子：查找(2.1,3.1)的最近邻。

1. 计算当前节点(7,2)的距离，为6.23，并且暂定为(7,2)，根据当前分割轴的维度（2.1 < 7），选取左支。
2. 计算当前节点(5,4)的距离，为3.03，由于3.03 < 6.23，暂定为(5,4)，根据当前分割轴维度（3.1 < 4），选取左支。
3. 计算当前节点(2,3)的距离，为0.14，由于0.14 < 3.03，暂定为(2,3)，根据当前分割轴维度（2.1 > 2），选取右支，而右支为空，回溯上一个节点。
4. 计算(2.1,3.1)与(5,4)的分割轴{y = 4}的距离，如果0.14小于距离值，说明就是最近值。如果大于距离值，说明，还有可能存在值与(2.1,3.1)最近，需要往右支检索。

由于0.14 < 0.9，我们找到了最近邻的值为(2,3)，最近距离为0.14。

• 多个最近邻

多个近邻其实和一个最近邻类似，不过是存储区间变为了多个，判定方法还是完全一样。

由于篇幅的原因，这里就不在赘述。这篇博客讲的很详细，有兴趣的同学可以去学习一下：

加载中 ​www.joinquant.com/view/community/detail/c2c41c79657cebf8cd871b44ce4f5d97

3、常用函数

kd-tree在日常使用中，一般会在两个方面使用：

• 最近邻搜索
• 距离范围搜索

距离范围搜索的原理和最近邻搜索的差不多，把满足距离的全部放进去就可以了。

最近邻搜索的函数在激光点云匹配中找最近点的时候用的比较多：

//头文件
#include 
//设定kd-tree的智能指针
pcl::KdTreeFLANN::Ptr kdtreeCornerLast(new pcl::KdTreeFLANN());
//输入三维点云，构建kd-tree
kdtreeCornerLast->setInputCloud(laserCloudCornerLast);
//在点云中寻找点searchPoint的k近邻的值，返回下标pointSearchInd和距离pointSearchSqDis
kdtreeCornerLast->nearestKSearch (searchPoint, K, pointIdxNKNSearch, pointNKNSquaredDistance);

其中，当k为1的时候，就是最近邻搜索。当k大于1的时候，就是多个最近邻搜索。

距离范围搜索：

//在点云中寻找和点searchPoint满足radius距离的点和距离，返回下标pointIdxRadiusSearch和距离pointRadiusSquaredDistance
kdtreeCornerLast->radiusSearch (searchPoint, radius, pointIdxRadiusSearch, pointRadiusSquaredDistance)

其完整的使用代码可以参考PCL的官方文件  :

#include 
#include 

#include 
#include 
#include 

int
main (int argc, char** argv)
{
  srand (time (NULL));

  pcl::PointCloud::Ptr cloud (new pcl::PointCloud);

  // Generate pointcloud data
  cloud->width = 1000;
  cloud->height = 1;
  cloud->points.resize (cloud->width * cloud->height);

  for (std::size_t i = 0; i < cloud->points.size (); ++i)
  {
    cloud->points[i].x = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);
    cloud->points[i].y = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);
    cloud->points[i].z = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);
  }

  pcl::KdTreeFLANN kdtree;

  kdtree.setInputCloud (cloud);

  pcl::PointXYZ searchPoint;

  searchPoint.x = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);
  searchPoint.y = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);
  searchPoint.z = 1024.0f * rand () / (RAND_MAX + 1.0f);

  // K nearest neighbor search

  int K = 10;

  std::vector pointIdxNKNSearch(K);
  std::vector pointNKNSquaredDistance(K);

  std::cout