图论 求有向图的所有强连通分量 kosaraju算法

一、问题

如何找到有向图（a）中的所有强连通分量，如图（b)

 

 二、kosaraju算法

Kosaraju的算法（又称为–Sharir Kosaraju算法）是一个线性时间(linear time)算法找到的有向图的强连通分量。

 

1. 原理

它利用了一个事实，逆图（与各边方向相同的图形反转, transpose graph）有相同的强连通分量的原始图。

 

2. 逆图

将各边的方向反转

 

3. 算法图示

上图是对图G,进行一遍DFS（深度优先搜索）的结果，

• 1、2、4、6
• 1、3、5

 

每个节点有两个时间戳，即节点的

• 发现时间u.d（左边，即搜索发现的时间）
• 完成时间u.f（右边，即搜索返回的时间）

 

我们将完成时间较大的，按大小（从小到大）加入堆栈

1)每次从栈顶取出元素

2)检查是否被访问过

3)若没被访问过，以该点为起点，对逆图进行深度优先遍历

4)否则返回第一步，直到栈空为止

 

[ATTENTION] : 对逆图搜索时，从一个节点开始能搜索到的最大区块就是该点所在的强连通分量。

• 从节点1出发，能走到  2 ，3，4 ， 所以{1 , 2 , 3 , 4 }是一个强连通分量
• 从节点5出发，无路可走，所以{ 5 }是一个强连通分量
• 从节点6出发，无路可走，所以{ 6 }是一个强连通分量

自此Kosaraju Algorithm完毕，这个算法只需要两遍DFS即可，是一个比较易懂的求强连通分量的算法。

 

4. 算法复杂度

邻接表：O(V+E)

邻接矩阵：O(V^2)

 该算法在实际操作中要比Tarjan算法要慢

 

5. 算法模板&注释代码

#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "algorithm"

using namespace std ;

const int maxN = 10010 , maxM = 50010;

struct Kosaraju { int to , next ; } ;

Kosaraju E[ 2 ][ maxM ] ;
bool vis[ maxN ];
int head[ 2 ][ maxN ] , cnt[ 2 ] , ord[maxN] , size[maxN] ,color[ maxN ];

int tot , dfs_num  , col_num , N , M  ;

void Add_Edge( int x , int y , int _ ){//建图
         E[ _ ][ ++cnt[ _ ] ].to = y ;
         E[ _ ][ cnt[ _ ] ].next = head[ _ ][ x ] ;
         head[ _ ][ x ] = cnt[ _ ] ;
}

void DFS_1 ( int x , int _ ){
         dfs_num ++ ;//发现时间
         vis[ x ] = true ;
         for ( int i = head[ _ ][ x ] ; i ; i = E[ _ ][ i ].next ) {
                 int temp = E[ _ ][ i ].to;
                 if(vis[ temp ] == false) DFS_1 ( temp , _ ) ;
         }
         ord[(N