椭圆曲线下Pedersen commitment可用scalar multiplication of curve points来表示： C = r H + a G C=rH+aG C=rH+aG 其中， C C C为椭圆曲线上的一个点curve point，作为commitment； a a a为commit to 的数值； r r r为随机数，可提供隐藏功能； G G G为所选择椭圆曲线广泛接受的generator； H H H为椭圆曲线上的另一个点，且保证无任何可推导 q q q，使得 H = q G H=qG H=qG，这个H与G直接无明确关系非常重要。
如需open commitment C C C，需要提供r值和a值。
Pedersen commitment具有加法同态性： C ( r 1 , a 1 ) + C ( r 2 , a 2 ) = r 1 H + a 1 G + r 2 H + a 2 G = ( r 1 + r 2 ) H + ( a 1 + a 2 ) G = C ( r 1 + r 2 , a 1 + a 2 ) C(r_1,a_1)+C(r_2,a_2)=r_1H+a_1G+r_2H+a_2G=(r_1+r_2)H+(a_1+a_2)G=C(r_1+r_2,a_1+a_2) C(r1,a1)+C(r2,a2)=r1H+a1G+r2H+a2G=(r1+r2)H+(a1+a2)G=C(r1+r2,a1+a2)
2. Vector Pedersen Commitment 向量commitmentC = r H + ( v 1 G 1 + v 2 G 2 + . . . . + v n G n ) = r H + v ⃗ G ⃗ C=rH+(v_1G_1+v_2G_2+....+v_nG_n)=rH+\vec v\vec G C=rH+(v1G1+v2G2+....+vnGn)=rH+v G 其中，各个 G i G_i Gi可由 H a s h ( e n c o d e ( G ) ∣ ∣ i ) Hash(encode(G)||i) Hash(encode(G)∣∣i)来获取。
如需open commitment C C C，需要提供随机数r值和向量值 v ⃗ \vec v v 。
向量值 v ⃗ \vec v v 中可以有大量元素，但最终的commitment只为椭圆曲线上的一个点 C C C。
也可以同时对多个Vector进行commitment，如对 v ⃗ , w ⃗ \vec v,\vec w v ,w 同时commitment： C = r H + v ⃗ G ⃗ + w ⃗ H ⃗ C=rH+\vec v\vec G+\vec w\vec H C=rH+v G +w H 其中，各个 H i H_i Hi可由 H a s h ( e n c o d e ( H ) ∣ ∣ i ) Hash(encode(H)||i) Hash(encode(H)∣∣i)来获取，即curve point H H H不在vector H ⃗ \vec H H 中。
3. A zero knowledge argument of knowledge of a set of vectors——一系列向量的零知识证明假设有m个向量 x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ m \vec x_1,\vec x_2, ..., \vec x_m x 1,x 2,...,x m，且每个向量都有N个元素（ N ! = m N != m N!=m）。已知各个向量的commitment为： C 1 = r 1 H + x ⃗ 1 G ⃗ C_1=r_1H+\vec x_1 \vec G C1=r1H+x 1G C 2 = r 2 H + x ⃗ 2 G ⃗ C_2=r_2H+\vec x_2 \vec G C2=r2H+x 2G . . . ... ... C m = r m H + x ⃗ m G ⃗ C_m=r_mH+\vec x_m \vec G Cm=rmH+x mG
以下 P P P代表prover, V V V代表Verifier。 a) P → V : C 0 P \rightarrow V: C_0 P→V:C0 (a new commitment to a newly chosen random vector of dimension N) b) V → P : e V \rightarrow P: e V→P:e (a random scalar，也可称为challenge值。) c) P → V : ( z ⃗ , s ) P \rightarrow V: (\vec z, s) P→V:(z ,s) (a single vector of dimension N, and another scalar) 其中： z ⃗ = ∑ i = 0 m e i x ⃗ i , s = ∑ i = 0 m e i r i \vec z=\sum_{i=0}^{m}e^i\vec x_i, \quad s=\sum_{i=0}^{m}e^ir_i z =∑i=0meix i,s=∑i=0meiri
通过随机数 e e e，可很好的隐藏向量 x ⃗ \vec x x ，如取 z ⃗ \vec z z 向量的第二个元素—— z 2 = x 02 + e x 12 + . . . + e m x m 2 z_2=x_{02}+ex_{12}+...+e^mx_{m2} z2=x02+ex12+...+emxm2。 有1*m维矩阵： ( 1 , e , e 2 , . . . , e m ) (1,e,e^2,...,e^m) (1,e,e2,...,em) 使得z值无法获取相应的x值。
对于Verifier，只需验证： ∑ i = 0 m e i C i = ? s H + z ⃗ G ⃗ \sum_{i=0}^{m}e^iC_i=?sH+\vec z\vec G ∑i=0meiCi=?sH+z G
证明过程如下： s H + z ⃗ G ⃗ = ∑ i = 0 m e i ( r i H ) + ∑ i = 0 m e i x ⃗ i G ⃗ = ∑ i = 0 m e i ( r i H + x ⃗ i G ⃗ ) = ∑ i = 0 m e i C i sH+\vec z\vec G=\sum_{i=0}^{m}e^i(r_iH)+\sum_{i=0}^{m}e^i\vec x_i\vec G=\sum_{i=0}^{m}e^i(r_iH+\vec x_i\vec G)=\sum_{i=0}^{m}e^iC_i sH+z G =∑i=0mei(riH)+∑i=0meix iG =∑i=0mei(riH+x iG )=∑i=0meiCi
由以上证明可知，Verifer可根据信息 ( C 0 , e , ( z ⃗ , s ) ) (C_0,e,(\vec z, s)) (C0,e,(z ,s))，可信服honest prover的proof ( z ⃗ , s ) (\vec z, s) (z ,s)。
但是对于不诚信的prover，他可以随机选择 e , ( z ⃗ , s ) e,(\vec z, s) e,(z ,s)值，并根据之前已生成的 C 1 , C 2 , . . . , C m C_1,C_2,...,C_m C1,C2,...,Cm值，推导出 C 0 = ( s H + z ⃗ G ⃗ ) − ( ∑ i = 1 m e i C i ) C_0=(sH+\vec z\vec G)-(\sum_{i=1}^{m}e^{i}C_i) C0=(sH+z G )−(∑i=1meiCi)， 使得 ∑ i = 0 m e i C i = C 0 + ∑ i = 1 m e i C i = ( s H + z ⃗ G ⃗ ) − ( ∑ i = 1 m e i C i ) + ∑ i = 1 m e i C i = s H + z ⃗ G ⃗ \sum_{i=0}^{m}e^iC_i=C_0+\sum_{i=1}^{m}e^{i}C_i=(sH+\vec z\vec G)-(\sum_{i=1}^{m}e^{i}C_i)+\sum_{i=1}^{m}e^{i}C_i=sH+\vec z\vec G ∑i=0meiCi=C0+∑i=1meiCi=(sH+z G )−(∑i=1meiCi)+∑i=1meiCi=sH+z G 恒成立，因此，对于此种情况，不诚信的prover可伪造相应的证明。
若需要open此种情况下的commitment，需要提供 C 1 , C 2 , . . . C m C_1,C_2,...C_m C1,C2,...Cm对应的共m个scalar数 r 1 , r 2 , . . . , r m r_1,r_2,...,r_m r1,r2,...,rm，以及 m ∗ N m*N m∗N个向量元素 x 11 , x 12 , . . . , x m N x_{11},x_{12},...,x_{mN} x11,x12,...,xmN。
3.1 一系列向量的零知识证明的soundness验证修改上面的流程，重复a)b)c)步骤m+1次，每次均为scalar e提供不同的随机值 e j e_j ej： ( C 0 , 0 , e 0 , ( z ⃗ 0 , s 0 ) ) (C_{0,0},e_0,(\vec z_0,s_0)) (C0,0,e0,(z 0,s0)) ( C 0 , 1 , e 1 , ( z ⃗ 1 , s 1 ) ) (C_{0,1},e_1,(\vec z_1,s_1)) (C0,1,e1,(z 1,s1)) ( C 0 , 2 , e 2 , ( z ⃗ 2 , s 2 ) ) (C_{0,2},e_2,(\vec z_2,s_2)) (C0,2,e2,(z 2,s2)) . . . ... ... ( C 0 , m , e m , ( z ⃗ m , s m ) ) (C_{0,m},e_m,(\vec z_m,s_m)) (C0,m,em,(z m,sm))
相应地： z ⃗ j = ∑ i = 0 m e j i x ⃗ i , s j = ∑ i = 0 m e j i r i , 其 中 j ∈ [ 0 , m ] \vec z_j=\sum_{i=0}^{m}e_j^i\vec x_i, \quad s_j=\sum_{i=0}^{m}e_j^ir_i, \quad 其中j\in [0,m] z j=∑i=0mejix i,sj=∑i=0mejiri,其中j∈[0,m]
则 有(m+1)*(m+1)维矩阵： A − 1 = ( 1 e 0 e 0 2 . . . e 0 m 1 e 1 e 1 2 . . . e 1 m 1 e 2 e 2 2 . . . e 2 m . . . 1 e m e m 2 . . . e m m ) A^{-1}=\begin{pmatrix} 1& e_0& e_0^2 &... &e_0^m \\ 1& e_1& e_1^2 &... &e_1^m\\ 1& e_2& e_2^2 &... &e_2^m\\ ...& & & & \\ 1& e_m& e_m^2 &... &e_m^m \end{pmatrix} A−1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛111...1e0e1e2eme02e12e22em2............e0me1me2memm⎠⎟⎟⎟⎟⎞ 使得z值无法获取相应的x值。该矩阵为Vandermonde 矩阵。 若 e 0 , e 1 , . . . , e m e_0,e_1,...,e_m e0,e1,...,em互异，则存在对应的逆矩阵为： A = ( a 00 a 01 a 02 . . . a 0 m a 10 a 11 a 12 . . . a 1 m a 20 a 21 a 22 . . . a 2 m . . . a m 0 a m 1 a m 2 . . . a m m ) A=\begin{pmatrix} a_{00}& a_{01}& a_{02}&... &a_{0m} \\ a_{10}& a_{11}& a_{12}&... &a_{1m} \\ a_{20}& a_{21}& a_{22}&... &a_{2m} \\ ...& & & & \\ a_{m0}& a_{m1}& a_{m2}&... &a_{mm} \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a00a10a20...am0a01a11a21am1a02a12a22am2............a0ma1ma2mamm⎠⎟⎟⎟⎟⎞
相应的Z也为矩阵，满足： Z = A − 1 X = ( 1 e 0 e 0 2 . . . e 0 m 1 e 1 e 1 2 . . . e 1 m 1 e 2 e 2 2 . . . e 2 m . . . 1 e m e m 2 . . . e m m ) ( x ⃗ 0 x ⃗ 1 x ⃗ 2 . . . x ⃗ m ) = ( ∑ i = 0 m e 0 i x ⃗ i ∑ i = 0 m e 1 i x ⃗ i ∑ i = 0 m e 2 i x ⃗ i . . . ∑ i = 0 m e m i x ⃗ i ) = ( z ⃗ 0 z ⃗ 1 z ⃗ 2 . . . z ⃗ m ) Z=A^{-1}X=\begin{pmatrix} 1& e_0& e_0^2 &... &e_0^m \\ 1& e_1& e_1^2 &... &e_1^m\\ 1& e_2& e_2^2 &... &e_2^m\\ ...& & & & \\ 1& e_m& e_m^2 &... &e_m^m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vec x_0\\ \vec x_1\\ \vec x_2\\ ... \\ \vec x_m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{i=0}^{m}e_0^i\vec x_i\\ \sum_{i=0}^{m}e_1^i\vec x_i\\ \sum_{i=0}^{m}e_2^i\vec x_i\\ ... \\ \sum_{i=0}^{m}e_m^i\vec x_i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vec z_0\\ \vec z_1\\ \vec z_2\\ ... \\ \vec z_m \end{pmatrix} Z=A−1X=⎝⎜⎜⎜⎜⎛111...1e0e1e2eme02e12e22em2............e0me1me2memm⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛x 0x 1x 2...x m⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛∑i=0me0ix i∑i=0me1ix i∑i=0me2ix i...∑i=0memix i⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛z 0z 1z 2...z m⎠⎟⎟⎟⎟⎞
即相当于求m+1个方程式，存在唯一解 ( x ⃗ 0 , x ⃗ 1 , . . . , x ⃗ m ) (\vec x_0, \vec x_1,..., \vec x_m) (x 0,x 1,...,x m)。即可保证soundness。
若 e 0 , e 1 , . . . , e m e_0,e_1,...,e_m e0,e1,...,em不互异，则可逆矩阵A不存在，也不能保证解的唯一性。
根据矩阵基础知识，矩阵B存在可逆矩阵的充分必要条件为B的判别式不为零，即det|B|!=0。 A的可逆矩阵A-1之间的关系有： A A − 1 = I , I 为 单 位 矩 阵 AA^{-1}=I,I为单位矩阵 AA−1=I,I为单位矩阵，即： A A − 1 = ( a 00 a 01 a 02 . . . a 0 m a 10 a 11 a 12 . . . a 1 m a 20 a 21 a 22 . . . a 2 m . . . a m 0 a m 1 a m 2 . . . a m m ) ( 1 e 0 e 0 2 . . . e 0 m 1 e 1 e 1 2 . . . e 1 m 1 e 2 e 2 2 . . . e 2 m . . . 1 e m e m 2 . . . e m m ) = ( 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 1 ) = ( δ 00 δ 01 δ 02 . . . δ 0 m δ 10 δ 11 δ 12 . . . δ 1 m δ 20 δ 21 δ 22 . . . δ 2 m . . . δ m 0 δ m 1 δ m 2 . . . δ m m ) AA^{-1}=\begin{pmatrix} a_{00}& a_{01}& a_{02}&... &a_{0m} \\ a_{10}& a_{11}& a_{12}&... &a_{1m} \\ a_{20}& a_{21}& a_{22}&... &a_{2m} \\ ...& & & & \\ a_{m0}& a_{m1}& a_{m2}&... &a_{mm} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& e_0& e_0^2 &... &e_0^m \\ 1& e_1& e_1^2 &... &e_1^m\\ 1& e_2& e_2^2 &... &e_2^m\\ ...& & & & \\ 1& e_m& e_m^2 &... &e_m^m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0 &... &0 \\ 0& 1& 0 &... &0 \\ 0& 0& 1 &... &0 \\ ...& & & & \\ 0& 0& 0 &... &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \delta _{00}& \delta _{01}& \delta _{02} &... &\delta _{0m} \\ \delta _{10}& \delta _{11}& \delta _{12} &... &\delta _{1m} \\ \delta _{20}& \delta _{21}& \delta _{22} &... &\delta _{2m} \\ ...& & & & \\ \delta _{m0}& \delta _{m1}& \delta _{m2} &... &\delta _{mm} \end{pmatrix} AA−1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a00a10a20...am0a01a11a21am1a02a12a22am2............a0ma1ma2mamm⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛111...1e0e1e2eme02e12e22em2............e0me1me2memm⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛100...001000010............0001⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛δ00δ10δ20...δm0δ01δ11δ21δm1δ02δ12δ22δm2............δ0mδ1mδ2mδmm⎠⎟⎟⎟⎟⎞
上面公式中， e j e_j ej为challenge值，有： δ h i = ∑ j = 0 m a h j e j i \delta _{hi}=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}e_j^i δhi=∑j=0mahjeji
当 h = = i h==i h==i时，有 δ h i = 1 \delta _{hi}=1 δhi=1；当 h ! = i h!=i h!=i时，有 δ h i = 0 \delta _{hi}=0 δhi=0。也可称 δ h i \delta _{hi} δhi为Kronecker delta函数。
基于 δ h i \delta _{hi} δhi的特性，有： C h = ∑ i = 0 m δ h i C i C_h=\sum_{i=0}^{m}\delta _{hi}C_i Ch=∑i=0mδhiCi ⇔ C h = ∑ i = 0 m δ h i C i = ∑ i = 0 m ( ∑ j = 0 m a h j e j i ) C i \Leftrightarrow C_h=\sum_{i=0}^{m}\delta _{hi}C_i=\sum_{i=0}^{m}(\sum_{j=0}^{m}a_{hj}e_j^i)C_i ⇔Ch=∑i=0mδhiCi=∑i=0m(∑j=0mahjeji)Ci ⇔ 根 据 加 法 交 换 律 有 : C h = ∑ i = 0 m ( ∑ j = 0 m a h j e j i ) C i = ∑ j = 0 m a h j ( ∑ i = 0 m e j i C i ) \Leftrightarrow 根据加法交换律有: \quad C_h=\sum_{i=0}^{m}(\sum_{j=0}^{m}a_{hj}e_j^i)C_i=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}(\sum_{i=0}^{m}e_j^iC_i) ⇔根据加法交换律有:Ch=∑i=0m(∑j=0mahjeji)Ci=∑j=0mahj(∑i=0mejiCi) ∵ C i = r i H + x ⃗ i G ⃗ , z ⃗ j = ∑ i = 0 m e j i x ⃗ i , s j = ∑ i = 0 m e j i r i , 以 及 加 法 结 合 律 \because C_i=r_iH+\vec x_i\vec G, \quad \vec z_j=\sum_{i=0}^{m}e_j^i\vec x_i, \quad s_j=\sum_{i=0}^{m}e_j^ir_i, \quad 以及加法结合律 ∵Ci=riH+x iG ,z j=∑i=0mejix i,sj=∑i=0mejiri,以及加法结合律 ∴ C h = ∑ j = 0 m a h j ( ∑ i = 0 m e j i ( r i H + x ⃗ i G ⃗ ) ) = ∑ j = 0 m a h j ( ∑ i = 0 m e j i r i H ) + ∑ j = 0 m a h j ( ∑ i = 0 m e j i x ⃗ i G ⃗ ) = ∑ j = 0 m a h j s j H + ∑ j = 0 m a h j z ⃗ j G ⃗ \therefore C_h=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}(\sum_{i=0}^{m}e_j^i(r_iH+\vec x_i\vec G))=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}(\sum_{i=0}^{m}e_j^ir_iH)+\sum_{j=0}^{m}a_{hj}(\sum_{i=0}^{m}e_j^i\vec x_i\vec G)=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}s_jH+\sum_{j=0}^{m}a_{hj}\vec z_j\vec G ∴Ch=∑j=0mahj(∑i=0meji(riH+x iG ))=∑j=0mahj(∑i=0mejiriH)+∑j=0mahj(∑i=0mejix iG )=∑j=0mahjsjH+∑j=0mahjz jG ⇒ C h \Rightarrow C_h ⇒Chis a commitment to ∑ j = 0 m a h j z ⃗ j \sum_{j=0}^{m}a_{hj}\vec z_j ∑j=0mahjz j with randomness ∑ j = 0 m a h j s j \sum_{j=0}^{m}a_{hj}s_j ∑j=0mahjsj ∵ C h = r h H + x ⃗ h G ⃗ ， 以 及 有 且 仅 有 一 个 值 对 应 一 个 c o m m i t m e n t \because C_h=r_hH+\vec x_h\vec G，\quad以及有且仅有一个值对应一个commitment ∵Ch=rhH+x hG ，以及有且仅有一个值对应一个commitment ⇒ x ⃗ h = ∑ j = 0 m a h j z ⃗ j \Rightarrow \vec x_h=\sum_{j=0}^{m}a_{hj}\vec z_j ⇒x h=∑j=0mahjz j
以上公式推导可知，当有m+1个不同的方程式时，可以通过 ( z ⃗ 0 , z ⃗ 1 , z ⃗ 2 , . . . , z ⃗ m ) (\vec z_0, \vec z_1, \vec z_2,...,\vec z_m) (z 0,z 1,z 2,...,z m)一一对应的提取出所有的witness向量值 ( x ⃗ 0 , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ m ) (\vec x_0, \vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_m) (x 0,x 1,x 2,...,x m)
通过本算法，根据proof信息，可提取witness信息，且为唯一解，即保证了“knowledge-soundness”。由于解的唯一性，当Prover不知道解的情况下，无法提供可验证通过的proof。
3.2 Polynomial Interpolation多项式插值Z = A − 1 X = ( 1 e 0 e 0 2 . . . e 0 m 1 e 1 e 1 2 . . . e 1 m 1 e 2 e 2 2 . . . e 2 m . . . 1 e m e m 2 . . . e m m ) ( x ⃗ 0 x ⃗ 1 x ⃗ 2 . . . x ⃗ m ) = ( ∑ i = 0 m e 0 i x ⃗ i ∑ i = 0 m e 1 i x ⃗ i ∑ i = 0 m e 2 i x ⃗ i . . . ∑ i = 0 m e m i x ⃗ i ) = ( z ⃗ 0 z ⃗ 1 z ⃗ 2 . . . z ⃗ m ) Z=A^{-1}X=\begin{pmatrix} 1& e_0& e_0^2 &... &e_0^m \\ 1& e_1& e_1^2 &... &e_1^m\\ 1& e_2& e_2^2 &... &e_2^m\\ ...& & & & \\ 1& e_m& e_m^2 &... &e_m^m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vec x_0\\ \vec x_1\\ \vec x_2\\ ... \\ \vec x_m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{i=0}^{m}e_0^i\vec x_i\\ \sum_{i=0}^{m}e_1^i\vec x_i\\ \sum_{i=0}^{m}e_2^i\vec x_i\\ ... \\ \sum_{i=0}^{m}e_m^i\vec x_i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vec z_0\\ \vec z_1\\ \vec z_2\\ ... \\ \vec z_m \end{pmatrix} Z=A−1X=⎝⎜⎜⎜⎜⎛111...1e0e1e2eme02e12e22em2............e0me1me2memm⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛x 0x 1x 2...x m⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛∑i=0me0ix i∑i=0me1ix i∑i=0me2ix i...∑i=0memix i⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛z 0z 1z 2...z m⎠⎟⎟⎟⎟⎞ 以上公式，可抽象为一个多项式，该多项式的变量为e，系数分别为 x ⃗ 0 , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ m \vec x_0, \vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_m x 0,x 1,x 2,...,x m： Z ( e ) = x ⃗ 0 + x ⃗ 1 e + x ⃗ 2 e 2 + . . . + x ⃗ m e m Z(e)=\vec x_0+\vec x_1e+\vec x_2e^2+...+\vec x_me^m Z(e)=x 0+x 1e+x 2e2+...+x mem
对 Z ( e ) Z(e) Z(e)多项式的变量 e e e分别取m+1不同的值 e 0 , e 1 , e 2 , . . . , e m e_0,e_1, e_2,...,e_m e0,e1,e2,...,em,可通过Lagrange interpolation来唯一确定 Z ( e ) Z(e) Z(e)多项式的系数 x ⃗ 0 , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ m \vec x_0, \vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_m x 0,x 1,x 2,...,x m。
参考资料： [1] http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/J.Groth/MatrixZK.pdf [2] https://joinmarket.me/static/FromZK2BPs_v1.pdf
