Elligator——将椭圆曲线point映射为random string（2）——extended坐标下

1. 引言

参见博客ristretto255 point压缩和解压缩算法（1）——affine坐标系下第二节内容可知，由Jacobi Quartic curve： J e , A : t 2 = e s 4 + 2 A s 2 + 1 ， 其 中 e = a 1 2 , A = a 1 − 2 d 1 J_{e,A}:t^2=es^4+2As^2+1，其中e=a_1^2,A=a_1-2d_1 Je,A​:t2=es4+2As2+1，其中e=a12​,A=a1​−2d1​ 映射到： ε a , d : = { ( x , y ) ∈ P 2 ( F ) : a ∗ x 2 + y 2 = 1 + d ∗ x 2 ∗ y 2 } ， 其 中 a = a 2 , d = d 2 , a 2 = − a 1 , d 2 = a 1 d 1 a 1 − d 1 \varepsilon_{a,d}:=\{(x,y)\in P^2(F):a*x^2+y^2=1+d*x^2*y^2\}，其中a=a_2,d=d_2,a_2=-a_1,d_2=\frac{a_1d_1}{a_1-d_1} εa,d​:={(x,y)∈P2(F):a∗x2+y2=1+d∗x2∗y2}，其中a=a2​,d=d2​,a2​=−a1​,d2​=a1​−d1​a1​d1​​ 的关系为： ( s , t ) ↦ ( x , y ) : x = 1 a 2 d 2 − 1 2 s t , y = 1 + a 2 s 2 1 − a 2 s 2 (s,t)\mapsto (x,y): x=\frac{1}{\sqrt {a_2d_2-1}}\frac{2s}{t},y=\frac{1+a_2s^2}{1-a_2s^2} (s,t)↦(x,y):x=a2​d2​−1 ​1​t2s​,y=1−a2​s21+a2​s2​

参见博客ristretto255 point压缩和解压缩算法（2）——extended坐标系下第一节内容有： 由于Twisted Edwards curves的affine坐标系表示为： ε a , d : = { ( x , y ) ∈ P 2 ( F ) : a ∗ x 2 + y 2 = 1 + d ∗ x 2 ∗ y 2 } \varepsilon_{a,d}:=\{(x,y)\in P^2(F):a*x^2+y^2=1+d*x^2*y^2\} εa,d​:={(x,y)∈P2(F):a∗x2+y2=1+d∗x2∗y2}

对应的Extended坐标系表示为： ε a , d : = { ( X : Y : Z : T ) ∈ P 3 ( F ) : X Y = Z T   a n d   a ∗ X 2 + Y 2 = Z 2 + d ∗ T 2 } \varepsilon_{a,d}:=\{(X:Y:Z:T)\in P^3(F):XY=ZT\ and\ a*X^2+Y^2=Z^2+d*T^2\} εa,d​:={(X:Y:Z:T)∈P3(F):XY=ZT and a∗X2+Y2=Z2+d∗T2} Edwards curve的identity point表示为 ( 0 , 1 ) = ( 0 : 1 : 1 : 0 ) (0,1)=(0:1:1:0) (0,1)=(0:1:1:0)。

affine坐标系与extended坐标系之间的映射关系为：

x = X / Z , y = Y / Z , X Y = Z T , x y = T / Z x=X/Z,y=Y/Z,XY=ZT,xy=T/Z x=X/Z,y=Y/Z,XY=ZT,xy=T/Z

2. extended坐标表示：

参照https://ristretto.group/details/elligator_in_extended.html 内容即可，有：

参考资料： [1] 博客ristretto255 point压缩和解压缩算法（1）——affine坐标系下 [2] 博客ristretto255 point压缩和解压缩算法（2）——extended坐标系下 [3] https://ristretto.group/details/elligator_in_extended.html