- RSA-based Vector Commitment：当前的主要实现有https://github.com/cambrian/accumulator和https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators
- merkle tree based vector commitment：当前的主要实现有https://github.com/0xProject/OpenZKP/tree/master/crypto/merkle-tree
- pedersen vector commitment：主要实现有https://github.com/mimblewimble/rust-secp256k1-zkp/blob/master/src/pedersen.rs
- cosmos vector commitment：有提案，暂未实现。https://github.com/cosmos/ics/tree/master/spec/ics-023-vector-commitments
accumulator做vector commit的关键点在于： 1）将vector转换位bit vector表示，也就是说vector中只有0，1值。 2）根据vector中的1值创建co-prime vector。co-prime vector的prime元素是通过位置来映射的。如https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators/blob/master/src/vc/binary.rs中的map_i_to_p_i函数，保证了prover和verifier对于指定的位置
i
i
i，都有唯一的prime
p
i
p_i
pi与之对应。 3）prove时，根据需要open的位置
i
i
i值为0或者1来确定是做non-membership proof还是做membership proof。
polynomial commitment： 仅用于证明prover知道某个 n n n阶函数 f 1 ( X ) f_1(X) f1(X)，使得其在某点 x x x的返回值确实为 v a l val val，使得 v a l = = f 1 ( x ) val==f_1(x) val==f1(x)成立。但是，并不能证明 n n n阶函数 f 1 ( X ) f_1(X) f1(X)的唯一性，存在另外的函数 f 2 ( X ) f_2(X) f2(X)，使得 v a l = = f 2 ( x ) val==f_2(x) val==f2(x)亦成立。除非用 n n n个不同的 x x x值去challenge prover，否则根本无法唯一确定prover所知道的函数。 怎么将polynomial commitment用于vector commiment呢？可以open指定的系数，同时不需要通过 n n n个challenge来唯一确定？？？？【 ⇒ \Rightarrow ⇒ 具体见博客vector commitment 中提到的2015年论文《Composable & Modular Anonymous Credentials:Definitions and Practical Constructions》第三节中提到了通过构建Lagrange basis polynomial来实现vector commitment的算法。】
2. 原理&性能 2.1 https://github.com/dignifiedquire/rust-accumulators原理&性能主要基于2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》——是基于strong RSA assumption in groups of unknown order来实现的，其基本原理为： 针对bit vector
m
⃗
=
{
m
1
,
m
2
,
.
.
.
,
m
n
}
，
m
i
∈
{
0
,
1
}
\vec{m}=\{m_1,m_2,...,m_n\}，m_i\in\{0,1\}
m
={m1,m2,...,mn}，mi∈{0,1}，构建一个相应的co-prime【co-prime这个属性很好，可以保证某个数值不可能在两个以上的位置存在，否则与co-prime矛盾。】 vector
p
⃗
=
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
l
}
\vec{p}=\{p_1,p_2,...,p_l\}
p
={p1,p2,...,pl}，
m
i
=
0
m_i=0
mi=0的个数为
n
−
l
n-l
n−l。若
m
i
=
1
m_i=1
mi=1，则提供an inclusion proof of
p
i
p_i
pi；若
m
i
=
0
m_i=0
mi=0，则提供an exclusion proof of
p
i
p_i
pi。引申到更通用的情况是，任意的vector，其元素可由
λ
−
b
i
t
s
\lambda-bits
λ−bits组成，相应的open可引申为
λ
\lambda
λ个位置的batch opening。 
cargo bench性能如下： 
主要也是基于2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》和2007年论文《Universal Accumulators with Efficient Nonmembership Proofs》来实现的。 其代码实现性能优于2.1，但是没有充分利用多核CPU的能力，计算压力仍然集中在单个CPU上： 
cosmos将vector commitment中划分了三个角色： 1）manager：负责从commitment中添加或删除元素； 2）prover：负责生成membership proof或non membership proof； 3）verifier：验证proof。 这其中提到了2017年论文《Accumulators with Applications to Anonymity-Preserving Revocation》中，提出借助密码学累加器来实现匿名撤销算法。在累加器中添加白名单信息，通过membership proof和 nonmembership proof来证明 同时支持元素添加和删除的累加器叫做动态累加器。常用的动态累加器有：
- 基于Merkle hash trees。
- 基于RSA。
- 基于bilinear maps。
并对多种累加器的进行了对比。 
参考资料： [1] 2013年论文《Vector Commitments and their Applications》 [2] 2017年论文《Accumulators with Applications to Anonymity-Preserving Revocation》 [3] 2018年论文《Batching Techniques for Accumulators with Applications to IOPs and Stateless Blockchains》 [4] https://github.com/cosmos/ics/tree/master/spec/ics-023-vector-commitments [5] https://github.com/filecoin-project/devgrants/blob/master/rfps/rfp-rsa-vector-commitments.md [6] Confidential Transactions from Basic Principles [7] https://github.com/filecoin-project/specs/blob/121-sector-id-as-input-to-commit-sector/notes/porep-with-vc.md [8] https://github.com/cryptoeconomicslab/plasma-chamber/issues/164 [9] https://github.com/filecoin-project/research/issues/131 [10] https://github.com/filecoin-project/research/issues/108 [11] 博客Class Groups for Cryptographic Accumulators
