1. 背景知识
Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》，与Lipmaa 2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments 》，两者之间有交叉引用。
Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》中，要点为：
- 基于CRS model的non-interactive range proof.
- 采用Hadamard product来实现parallel证明。
- 证明COCOON2009 [21]论文中的Range Proof为不安全的。
截止改论文发表时，现有的range proof大致可以分为两类：
- 第一类： uses a classical result of Lagrange that every non-negative integer is a sum of four squares [13, 7, 21]。【要求相应的group具有unknown order，这将严重限制其应用。】
- 基于以下事实：若 a ∈ [ 0 , H ] a\in [0,H] a∈[0,H]，当且仅当有相应的系数 G i G_i Gi，使得存在 b i ∈ [ 0 , u − 1 ] b_i\in[0,u-1] bi∈[0,u−1]使 a = ∑ i = 1 n G i b i a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i a=∑i=1nGibi。要求， u < < H u 1 , i f f a = ∑ i = 1 ⌊ log 2 H ⌋ + 1 G i b i a n d b i ∈ [ 0 , u − 1 ] for\ a\in[0,H], for\ any\ H>1,iff\ a=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}G_ib_i\ and\ b_i\in[0,u-1] for a∈[0,H],for any H>1,iff a=∑i=1⌊log2H⌋+1Gibi and bi∈[0,u−1]。
