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一、前言通过上一篇博客，已经完成 顶点 ( V e r t e x ) \color{red}顶点 (Vertex) 顶点(Vertex)的讲解，下面来看看 边 ( E d g e ) \color{red}边(Edge) 边(Edge)。其实呢，是比较类似的，但是相对而言g2o的边比顶点稍微复杂一些，不过没有关系，因为编程的都有固定的格式，只需要姑规规矩矩的来就行了。接下来主要分成如下几个部分进行讲解：1、初步认识g2o的边；2、如何自定义g2o的边；3、如何向图中添加边；
在源码 https://github.com/RainerKuemmerle/g2o 的 doc 目录中，可以看到一下 g2o.pdf 文件，可以找到下图：
如果对Jacobian matrix(雅可比矩阵)不太熟悉的朋友，建议先阅读下面这篇博客，下面的讲解涉及较多该知识。
推荐 \color{red}推荐 推荐：史上最简SLAM零基础解读(7) - Jacobian matrix(雅可比矩阵) → 理论分析与应用详解
二、初步认识g2o的边
前面讲解顶点的时候，还专门去追根溯源查找顶点类之间的继承关系，边其实也是类似的，这些代码位于
g2o/g2o/core/hyper_graph.h
g2o/g2o/core/optimizable_graph.h
g2o/g2o/core/base_edge.h
之中，头文件下就能看到这些继承关系了，我们就不像之前顶点那样一个个去追根溯源了，如果有兴趣你可以自己去试试看。我们主要关注一下上图红框内的三种边。即：BaseUnaryEdge，BaseBinaryEdge，BaseMultiEdge → 分别表示一元边，两元边，多元边。那么他们有什么区别呢？
一元边你可以理解为一条边只连接一个顶点，两元边理解为一条边连接两个顶点，也就是我们常见的边啦，多元边理解为一条边可以连接多个(3个以上)顶点，如下图所示： 
下面我们来看看他们的参数有什么区别？主要就是几个参数→E, VertexXi, VertexXj。他们的分别代表：
D 是 int 型，表示测量值的维度 （dimension） E 表示测量值的数据类型 VertexXi，VertexXj 分别表示不同顶点的类型
比如我们用边表示三维点投影到图像平面的重投影误差，就可以设置输入参数如下：
BaseBinaryEdge
这段代码表示:①首先这个是个二元边；②第1个2是说测量值是2维的，也就是图像像素坐标x,y的差值，对应测量值的类型是Vector2D；③两个顶点也就是优化变量分别是三维点 VertexSBAPointXYZ，和李群位姿VertexSE3Expmap；
除了输入参数外，定义边我们通常需要复写一些重要的成员函数，和顶点类似，也是复写成员函数，顶点里主要复写了顶点更新函数oplusImpl和顶点重置函数setToOriginImpl，但是边和顶点的成员函数还是差别比较大的，边主要有以下几个重要的成员函数：
virtual bool read(std::istream& is);
virtual bool write(std::ostream& os) const;
virtual void computeError();
virtual void linearizeOplus();
( 1 ) r e a d ， w r i t e ： \color{blue} (1)read，write： (1)read，write： 分别是读盘、存盘函数，一般情况下不需要进行读/写操作的话，仅仅声明一下就可以 ( 2 ) c o m p u t e E r r o r ： \color{blue} (2)computeError： (2)computeError： 非常重要，是使用当前顶点的值计算的测量值与真实的测量值之间的误差 ( 2 ) l i n e a r i z e O p l u s ： \color{blue} (2)linearizeOplus： (2)linearizeOplus： 非常重要，是在当前顶点的值下，该误差对优化变量的偏导数，也就是我们说的Jacobian
除了上面几个成员函数，还有几个重要的成员变量和函数也一并解释一下，后面我们写代码的时候回经常遇到他们的：
_measurement：存储观测值
_error：存储computeError() 函数计算的误差
_vertices[]：存储顶点信息，比如二元边的话，_vertices[] 的大小为2，存储顺序和调用setVertex(int, vertex) 是设定的int 有关（0 或1）
setId(int)：来定义边的编号（决定了在H矩阵中的位置）
setMeasurement(type) 函数来定义观测值
setVertex(int, vertex) 来定义顶点
setInformation() 来定义协方差矩阵的逆
三、如何自定义g2o的边？
前面介绍了g2o中边的基本类型、重要的成员变量和成员函数，那么如果要定义边，具体是怎么编程呢？下面是一个参考的模板:
class myEdge: public g2o::BaseBinaryEdge
{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW
myEdge(){}
virtual bool read(istream& in) {}
virtual bool write(ostream& out) const {}
virtual void computeError() override
{
// ...
_error = _measurement - Something;
}
virtual void linearizeOplus() override
{
_jacobianOplusXi(pos, pos) = something;
}
private:
// data
}
可以很明显的看到，最重要的就是computeError()，linearizeOplus()两个函数了。这里看起来还是比较容易的，下面来看一个比较简单的例子，代码位于：https://github.com/gaoxiang12/slambook2/blob/master/ch6/g2oCurveFitting.cpp 部分代码如下所示：
// 误差模型 模板参数：观测值维度，类型，连接顶点类型
class CurveFittingEdge: public g2o::BaseUnaryEdge
{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW
CurveFittingEdge( double x ): BaseUnaryEdge(), _x(x) {}
// 计算曲线模型误差
virtual void computeError() override {
const CurveFittingVertex *v = static_cast (_vertices[0]);
const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();
_error(0, 0) = _measurement - std::exp(abc(0, 0) * _x * _x + abc(1, 0) * _x + abc(2, 0));
}
// 计算雅可比矩阵
virtual void linearizeOplus() override {
const CurveFittingVertex *v = static_cast (_vertices[0]);
const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();
double y = exp(abc[0] * _x * _x + abc[1] * _x + abc[2]);
_jacobianOplusXi[0] = -_x * _x * y;
_jacobianOplusXi[1] = -_x * y;
_jacobianOplusXi[2] = -y;
}
virtual bool read( istream& in ) {}
virtual bool write( ostream& out ) const {}
public:
double _x; // x 值， y 值为 _measurement
};
这个是个一元边，主要是定义误差函数了，如上所示，还是比较简单的，如果不了解Jacobian matrix(雅可比矩阵)的，可以阅读本人前面给出的链接，里面有详细的讲解。下面是一个复杂一点例子。
四、二元边解析3D-2D点的PnP 问题，也就是最小化重投影误差问题，这个问题非常常见，使用最常见的二元边，弄懂了这个基本跟边相关的代码也差不多都一通百通了。代码位于g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h之中，如下：
//继承了BaseBinaryEdge类，观测值是2维，类型Vector2D,顶点分别是三维点、李群位姿
class G2O_TYPES_SBA_API EdgeProjectXYZ2UV : public BaseBinaryEdge{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;
//1. 默认初始化
EdgeProjectXYZ2UV();
//2. 计算误差
void computeError() {
//李群相机位姿v1
const VertexSE3Expmap* v1 = static_cast(_vertices[1]);
// 顶点v2
const VertexSBAPointXYZ* v2 = static_cast(_vertices[0]);
//相机参数
const CameraParameters * cam
= static_cast(parameter(0));
//误差计算，测量值减去估计值，也就是重投影误差obs-cam
//估计值计算方法是T*p,得到相机坐标系下坐标，然后在利用camera2pixel()函数得到像素坐标。
Vector2D obs(_measurement);
_error = obs-cam->cam_map(v1->estimate().map(v2->estimate()));
}
//3. 线性增量函数，也就是雅克比矩阵J的计算方法
virtual void linearizeOplus();
//4. 相机参数
CameraParameters * _cam;
bool read(std::istream& is);
bool write(std::ostream& os) const;
};
有一个地方比较难理解：
_error = obs - cam->cam_map(v1->estimate().map(v2->estimate()));
看起来可能没有那么好懂，其实就是： 误差 = 观测 − 投影 \color{blue} 误差 = 观测 - 投影 误差=观测−投影，下面来捋捋思路。先来看看cam_map 函数，它的定义在 g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.cpp 之中，cam_map 函数功能是把相机坐标系下三维点(输入)用内参转换为图像坐标(输出)，具体代码如下所示:
Vector2 CameraParameters::cam_map(const Vector3 & trans_xyz) const {
Vector2 proj = project2d(trans_xyz);
Vector2 res;
res[0] = proj[0]*focal_length + principle_point[0];
res[1] = proj[1]*focal_length + principle_point[1];
return res;
}
然后看 .map函数，它的功能是把世界坐标系下三维点变换到相机坐标系，函数在 g2o/types/sim3/sim3.h 具体定义是:
Vector3 map (const Vector3& xyz) const {
return s*(r*xyz) + t;
}
因此下面这个代码
v1->estimate().map(v2->estimate())
就是用V1估计的pose把V2代表的三维点，变换到相机坐标系下。前面主要是对computeError() 的理解，还有一个很重要的函数就是linearizeOplus()，用来定义雅克比矩阵→重投影误差（δu δv）对位姿（R, t）的导数；
摘取相关代码(来自g2o/g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.cpp)如下所示：
void EdgeProjectXYZ2UV::linearizeOplus() {
VertexSE3Expmap * vj = static_cast(_vertices[1]);
SE3Quat T(vj->estimate());
VertexSBAPointXYZ* vi = static_cast(_vertices[0]);
Vector3 xyz = vi->estimate();
Vector3 xyz_trans = T.map(xyz);
number_t x = xyz_trans[0];
number_t y = xyz_trans[1];
number_t z = xyz_trans[2];
number_t z_2 = z*z;
const CameraParameters * cam = static_cast(parameter(0));
Matrix tmp;
tmp(0,0) = cam->focal_length;
tmp(0,1) = 0;
tmp(0,2) = -x/z*cam->focal_length;
tmp(1,0) = 0;
tmp(1,1) = cam->focal_length;
tmp(1,2) = -y/z*cam->focal_length;
_jacobianOplusXi = -1./z * tmp * T.rotation().toRotationMatrix();
_jacobianOplusXj(0,0) = x*y/z_2 *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(0,1) = -(1+(x*x/z_2)) *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(0,2) = y/z *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(0,3) = -1./z *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(0,4) = 0;
_jacobianOplusXj(0,5) = x/z_2 *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(1,0) = (1+y*y/z_2) *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(1,1) = -x*y/z_2 *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(1,2) = -x/z *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(1,3) = 0;
_jacobianOplusXj(1,4) = -1./z *cam->focal_length;
_jacobianOplusXj(1,5) = y/z_2 *cam->focal_length;
}
这里的代码看起来还是比较复杂，不过没有关系，再了解了Jacobian matrix(雅可比矩阵) 之后，再进行详细的分析。如果不了解的朋友请阅读下面这篇博客。
推荐 \color{red}推荐 推荐：史上最简SLAM零基础解读(7) - Jacobian matrix(雅可比矩阵) → 理论分析与应用详解这里需要注意一个点，根据博客得到雅克比矩阵(45式) ∂ e ∂ Δ ξ = [ f x Z c 0 − f x X c Z c − f x X c Y c Z c 2 f x + f x X c 2 Z c 2 − f x Y c Z c 0 f y Z c − f y Y c Z c 2 − f y − f y Y c 2 Z c 2 f y X c Y c Z c 2 f y X c Z c ] (01) \color{green} \tag{01} \frac{\partial e}{\partial \Delta \xi} = \left[\begin{array}{cccccc} \frac{f_{x}}{Z_{c}} & 0 & -\frac{f_{x} X_{c}}{Z_{c}} & -\frac{f_{x} X_{c} Y_{c}}{Z_{c}^{2}} & f_{x}+\frac{f_{x} X_{c}^{2}}{Z_{c}^{2}} & -\frac{f_{x} Y_{c}}{Z_{c}} \\ 0 & \frac{f_{y}}{Z_{c}} & -\frac{f_{y} Y_{c}}{Z_{c}^{2}} & -f_{y}-\frac{f_{y} Y_{c}^{2}}{Z_{c}^{2}} & \frac{f_{y} X_{c} Y_{c}}{Z_{c}^{2}} & \frac{f_{y} X_{c}}{Z_{c}} \end{array}\right] ∂Δξ∂e=⎣ ⎡Zcfx00Zcfy−ZcfxXc−Zc2fyYc−Zc2fxXcYc−fy−Zc2fyYc2fx+Zc2fxXc2Zc2fyXcYc−ZcfxYcZcfyXc⎦ ⎤(01) 这是因为 se(3) 的定义方式是旋转在前，平移在后时，只要把这个矩阵的前三列与后三列对调即可。
五、结语通过该篇博客，对g2o(图优化)中的边(Edge)进行了纤细的讲解，简单的说，只需要实现 computeError()，linearizeOplus()两个函数就可以，下篇博客，会进行一个整理示例的讲解，基于 slam14讲。
