取模和求余运算

被除数 dividend 用 a 表示； 除数 divisor 用 b 表示； 商 quotient 用 q 表示； 余 remainder 用 rem 表示； 模 modulo 用 mod 表示。

背景

最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：

What is the output when this statement executed:
System.out.printf(-7 % 3);

正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

探究

首先，看看自然数的取模运算（定义1）:

如果 a 和 b 是两个自然数，b 非零，可以证明存在两个整数 q 和 r，满足 a = q*b + r 且0 ≤ r < b。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

我们计算下 (-7) % 3，这个表达式正常情况下是求余数，计算过程如下图所示： 按自然数的除法运算规则，得到商值：-3，余数：2，且完全满足上述两个关系表达式：-7 = (-3)*3 + 2 且 0 ≤ 2 ＜ 3。

那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样的规则计算呢？下面列举了几个程序运算的结果：

程序语句输出C++（G++ 编译）cout