多元复合函数的求导法则

一、复合函数的求导法则 1.1、一元函数与多元函数符合的情形

1.1.1、证明

1.1.2、推广到中间变量多余两个的

1.2、多元函数与多元函数的复合

1.2.1、为什么将 d z d x 变 成 ∂ z ∂ x \frac {dz} {dx} 变成\frac {\partial z}{\partial x} dxdz​变成∂x∂z​

1.2.2、推广到多个中间变量

1.3、特殊情形 1.3.1、第一种特殊情形

1.3.2、第二种特殊情形： 中间函数也是复合函数的自变量 注意 ∂ z ∂ x \frac {\partial z} {\partial x} ∂x∂z​ 与 ∂ f ∂ x \frac {\partial f} {\partial x} ∂x∂f​ 不同

1.3.2.1、例

例1

1.4、记号 f 1 ′ ( u , v ) = f u ( u , v ) , f 2 ′ ( u , v ) = f v ( u , v ) , f 12 ′ ( u , v ) = f u v ( u , v ) , f^{'}_{1}(u,v) = f_{u}(u, v), f^{'}_{2}(u,v) = f_{v}(u, v),f^{'}_{12}(u,v) = f_{uv}(u, v), f1′​(u,v)=fu​(u,v),f2′​(u,v)=fv​(u,v),f12′​(u,v)=fuv​(u,v),

1.5、将直角坐标转为极坐标

利用 x = ρ c o s θ ， y = ρ s i n θ 作 为 中 间 函 数 x=\rho cos\theta，y =\rho sin\theta 作为中间函数 x=ρcosθ，y=ρsinθ作为中间函数

二、全微分形式不变性 2.1、一元函数微分不变性

y = f ( x ) ， 则 d y = f ′ ( x ) d x y=f(x) ，则dy = f^{'} (x)dx y=f(x)，则dy=f′(x)dx

2.2、多元函数全微分不变性

2.2.1、例