- 1 数学模型分类
- 2 马尔萨斯人口论的引入
- 3 Logistic模型
- 4 Lesile模型
- 5 更复杂的模型
本博客是慕课-全国大学生数学建模竞赛组委会开设的建模竞赛课学习笔记
1 数学模型分类（1）数理型：统计回归 （2）机理型：
2 马尔萨斯人口论的引入群体增长的趋势是什么 （1）基本论题 人类食物供给增长趋势无法跟上人口增长的趋势 （2）论证方式 公理化 （3）基本公理 • 食物为人类生存所必需 • 两性之间的情欲是必然，而且几乎会保持现状 （3）增长理论 人口有几何增长的趋势，如报数 1、2、4 、8、16。。。 食物供应只有算数增长的趋势（即是按现行函数增长的趋势）如报数 1、2、3、4、5、6。。。 人类会有无限增长的趋势，直至食物供应的极限为止 结论： 要控制人口的无节制增长 （4）马尔萨斯问题 P(t)时候的人口数量。 •
已
知
当
前
或
过
去
某
个
时
刻
的
人
口
数
量
，
预
测
未
来
某
个
时
刻
的
人
口
？
\color{red}{已知当前或过去某个时刻的人口数量，预测未来某个时刻的人口？}
已知当前或过去某个时刻的人口数量，预测未来某个时刻的人口？ •
汉
字
格
式
遥
远
未
来
的
趋
势
（
t
趋
于
无
穷
）
？
\color{red}{汉字格式遥远未来的趋势（t趋于无穷）？}
汉字格式遥远未来的趋势（t趋于无穷）？ 解：以下是早期的马尔萨斯的模型解法。当问题随着世界的变化，各种因素的需要考虑进去，后面还有改进的马尔萨斯模型如logistic模型、lesile模型，甚至还有更复杂的模型去解决这类问题。 假如2002年和人口总数量是怕p，则2002年刚出生的人数和死亡的人数就分别是bp和dp，所以2003年初的人口总数将是 p+bp-dp = （1+b-d）p = (1+r)p 这里的r就是人口自然增长率，这个模型是离散的。 P（t+
Δ
\Delta
Δt） - P（t） = rP(t)
Δ
\Delta
Δt P（t+dt） - P（t） = rP(t)dt 得到以下的微分模型
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)
dtdP(t)=rP(t) P(t0) = P0 得到人口指数模型 P(t) = P0er(t-t0) 
d
P
(
t
)
d
t
=
r
P
(
t
)
\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)
dtdP(t)=rP(t) P(t0) = P0 （1）以上的r再当下已经不是一个常数了，是一个函数且和当前人口量相关。 r（t） = r（P（t）） 改进公式 r（t） = r（P（t）） =
r
(
1
−
P
(
t
)
K
)
r(1-\frac{P(t)}{K})
r(1−KP(t)) P(t0) = P0 Logistic模型 
（2）Logistic模型离散化 d N d t = r N ( 1 − N K ) \frac{dN}{dt} = rN(1-\frac{N}{K}) dtdN=rN(1−KN) d P ( t ) d t = r P ( t ) \frac{dP(t)}{dt} = rP(t) dtdP(t)=rP(t) 考虑这个模型的离散化 Δ N Δ t = r N ( 1 − N K ) \frac{\Delta N}{\Delta t} = rN(1-\frac{N}{K}) ΔtΔN=rN(1−KN) 变成了差分方程 令 Δ N = N （ t + 1 ） − N （ t ） \Delta N = N（t+1） -N（t） ΔN=N（t+1）−N（t） Δ t = 1 \Delta t = 1 Δt=1 N （ t + 1 ） − N ( t ) = r N ( 1 − N K ) N（t+1） - N(t) = rN(1-\frac{N}{K}) N（t+1）−N(t)=rN(1−KN)
这里的时间离散长取为1，每一代就是一个时间步
N
（
t
）
=
（
1
+
r
）
N
(
t
)
−
r
K
)
N
2
(
t
)
N（t）= （1+r）N(t) - \frac{r}{K})N^2(t)
N（t）=（1+r）N(t)−Kr)N2(t) 取定参数K，考虑不同的参数r r = 1.9 
r = 2.2 
r = 2.5 
r = 2.55 
r不断的增大，周期不断的翻倍。出现倍周期现象。 
（1）概念 当人口总量一样，分布不一样的时候，以上的模型是不足以分析的。还有一个年龄的分布。 引入一个向量表示年龄分布，N(t) = [n0 n1 … ns]。把年龄分为多少段，就有多少参数。 所以当求某个t时刻的人口数量，计算公式如下图： 
假设知道Lj矩阵的特征值和特征向量。 
那每个时刻的N一定可以用特征向量的线性组合表示。 
假设首特征值大于所有的特征值 
首特征值的阿晓和相应的特征向量决定了模型的渐进性质。当首特征值大于1时候，那人口会越长越多，当小于1时，人类会走向灭亡。当等于1时，会进入一个稳态。 （2）一个学者说 所有的模型都是错的，但有些是有用的。模型越来越复杂，是一个不得已的选择。 
（1）引入新的函数，既有t的函数又是年龄a的函数，称为多元函数P(a,t)。也是二元函数 
（2）考虑其他因素 比如地域因素。或者其他确定的因素，那就要使用随机模型。推荐的书，包含了各种数学模型。 
