【Leetcode刷题Python】63. 不同路径 II

1 题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

2 解析

状态：从左上角到右下角不同的路径数量 状态转移：

• 在第一行时，即 i = 0 , j > 0 i=0,j>0 i=0,j>0，只能当前状态只能来自后一列的状态， f ( x ) = f ( i , j − 1 ) f(x) = f(i, j - 1) f(x)=f(i,j−1)
• 在第一列时，即 i > 0 , j = 0 i>0,j=0 i>0,j=0，只能当前状态只能来自后一行的状态 f ( x ) = f ( i − 1 , j ) f(x) = f(i-1, j ) f(x)=f(i−1,j)
• 其他行和其他列，即 i > 0 , j > 0 i>0,j> 0 i>0,j>0，只能当前状态来自后一行和后列的状态的和 f ( x ) = f ( i − 1 , j ) + f ( i , j − 1 ) f(x) = f(i-1, j ) +f(i, j-1 ) f(x)=f(i−1,j)+f(i,j−1)
• 一旦遇到阻碍，即 u ( i , j ) = 1 u(i,j) =1 u(i,j)=1 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0

状态转移方程为以下 f ( x ) = { f ( i − 1 , j ) + f ( i , j − 1 ) u ( i , j ) = 0 i > 0 , j > 0 f ( i − 1 , j ) u ( i , j ) = 0 i > 0 , j = 0 f ( i , j − 1 ) u ( i , j ) = 0 i = 0 , j > 0 0 u ( i , j ) = 1 f(x)=\left\{ \begin{aligned} f(i - 1, j) + f(i, j - 1) & & u(i, j) = 0 & &i>0,j>0\\ f(i - 1, j) & & u(i, j) = 0 & &i>0,j=0\\ f(i, j - 1) & & u(i, j) = 0 & &i=0,j>0\\ 0 & & u(i, j) = 1 \\ \end{aligned} \right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​f(i−1,j)+f(i,j−1)f(i−1,j)f(i,j−1)0​​u(i,j)=0u(i,j)=0u(i,j)=0u(i,j)=1​​i>0,j>0i>0,j=0i=0,j>0​

3 Python实现

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        # 初始化边界，第一行和第一列
        f = [[1]*n ]+ [[1]*n +[0]*(n-1) for _ in range(m-1)]
        
        for i in range(0,m):
            for j in range(0,n):
                if obstacleGrid[i][j] ==0:
                    if i >0 and j>0:
                        f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1]
                    elif i>0 and j==0:
                        f[i][j] = f[i-1][j]
                    elif i==0 and j>0:
                        f[i][j] = f[i][j-1]
                else:
                    f[i][j] = 0                 
        return f[m-1][n-1]