生成对抗网络前言（1）——生成对抗网络的数学推导

一、预备知识

在推导GAN公式之前，为了理解生成对抗网络的基本原理，需要首先了解一些预备知识。

1.1 数学期望

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

对于连续型随机变量x，其概率密度函数为f(x)，则X的数学期望E(x)为：

1.2 最大似然估计

最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。最大似然法明确地使用概率模型，是用来估计一个概率模型的参数的一种方法，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。

（最大似然估计是一种“模型已定，参数未知”的方法）

例子

举个通俗的例子：假设一个袋子装有白球与红球，比例未知，现在抽取10次（每次抽完都放回，保证事件独立性），假设抽到了7次白球和3次红球，在此数据样本条件下，可以采用最大似然估计法求解袋子中白球的比例（最大似然估计是一种“模型已定，参数未知”的方法）。当然，这种数据情况下很明显，白球的比例是70%，但如何通过理论的方法得到这个答案呢？一些复杂的条件下，是很难通过直观的方式获得答案的，这时候理论分析就尤为重要了，这也是学者们为何要提出最大似然估计的原因。我们可以定义从袋子中抽取白球和红球的概率如下： 似然估计： 两边取ln，方便求导： 取平均： 最大似然估计的过程，就是找一个合适的theta，使得平均对数似然的值为最大。因此，可以得到以下公式： 推广到多个： 我们定义M为模型（也就是之前公式中的f），表示抽到白球的概率为theta，而抽到红球的概率为(1-theta)，因此10次抽取抽到白球7次的概率可以表示为： 即 求导，令其导数为零： 由此可得，当抽取白球的概率为0.7时，最可能产生10次抽取抽到白球7次的事件。

参考： https://www.jianshu.com/p/f1d3906e4a3e

1.3 熵与交叉熵

熵（Entropy）：

交叉熵（Cross-Entropy）：

1.4 KL散度（Kullback-Leibler divergence）

KL散度，又称“相对熵”，在信息论中，用生成的概率分布Q来拟合逼近真实的概率分布P时，所产生的信息损耗，即描述两个概率分布的差异，其本身是非对称的。

设x是连续型随机变量，其真实概率分布为P(x)，拟合分布概率为Q(x)，则P对Q的KL散度为： 从上述公式可以看出，当且仅当P=Q时，KL(P||Q)=0。同时KL散度具有非负性，即KL(P||Q)≥0；KL散度不具备对称性，也就是说P对Q的KL散度并不等于Q对P的KL散度。

KL散度的理论意义在于度量两个概率分布之间的差异程度。当KL散度越高时，说明两者的差异程度越大；而当KL散度低时，则说明两者的差异程度小。如果两者相同的话，则该KL散度应该为0。

【特定情况下，通常是P用以表示数据的真实分布，而Q表示数据的模型分布或近似分布。】

参考： 【1】https://zhuanlan.zhihu.com/p/22464760

1.4 零和博弈

零和博弈：指参与博弈的双方，在严格的竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈过程中，双方的各自收益和损失的相加总和永远为零，双方完全不存在合作的可能。 就好比下棋一样，你和对手的每一步棋都是向着自己最有利的方向走，最终只有一方赢一方输，而下棋的总成绩永远为零。 关于博弈论的详细知识，可参考：https://blog.csdn.net/didi_ya/article/details/108979939

二、数学描述

上图中，x是真实数据，Pdata(x)是x的概率分布，z表示随机噪声，P(z)是z的概率分布，噪声分布。

z通过一个神经网络输出x，x为fake sample，如图所示：

D（x；θg）：代表是真品的概率。越趋近于1，越可能是真品；越趋近于0，越可能是赝品。 其大致表示如下： 目标： 对于判别器D： 如果 x 来自 pdata，则 D（x）偏高；=>log D（x）↑ 如果 x 来自 pg（即z 来自 pz），则 D（x）偏低，即（1-D（x））偏高 ==> log（1-D（x））↑ （由于x=G（z）） 因此 max 【为什么是期望？】 求期望是因为这是要在整个数据集上做运算，而这个数据集是x~pdata,即数学期望

对于生成器D： 如果 x 来自 pg（即z 来自 pz），则 D（x）偏高，即（1-D（x））偏低 ==> log（1-D（x））↓

因此 min

总目标：（生成器G建议在判别器D的基础上）

因为，min的对象是G，max的对象是D，而第一项不包括G，因此min计算时不包括第一项的期望。

GAN的目的是将随机噪声z通过生成器G得到一个和真实数据分布Pdata(x)类似的生成分布Pg(G(z))，