特征值与特征向量的意义

上半年研究生复试面试问的印象最深刻的题目就是：请根据自己的理解解释一下特征值与特征向量。

那种无从下嘴的感觉至今记忆犹新。

我们大学学线性代数、现代控制理论以及线性系统时都会学到特征值与特征向量，而且也仅限于会做题而已，却根本不知道他们是怎么来的。本文就深度梳理一下特征值与特征向量及其几何意义。

1.特征值与特征向量

我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。

我们来看个例子： M = ( 3 0 0 1 ) M=\left( \begin{array}{lcr} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) M=(30​01​) 它其实对应的线性变换是下面的形式： 因为这个矩阵M 乘以一个向量(x,y)的结果是： ( 3 0 0 1 ) ( x y ) = ( 3 x y ) \left( \begin{array}{lcr} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{lcr} x \\ y \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lcr} 3x \\ y \\ \end{array} \right) (30​01​)(xy​)=(3xy​)

上面的矩阵是对称的， 所以这个变换是一个对x, y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时， 是拉长， 当值