单片机如何能运行如飞？一种高效实现数学函数的方式！

今天给大家分享一下如何在资源紧张，算力较低的单片机上实现三角函数的算法。

下面我们来简单介绍一下整体的思路吧，因为硬件平台的资源比较紧张；

• RAM比较少；

• ROM比较少；

• CPU处理速度比较慢；

所以这里比较常用的方法就是通过空间换时间，预先将sin，cos的值存储到数组中，需要用的时候，访问数组就可以得到具体的数据。这也就是我们经常会提到的查表法。

下面我们来详细介绍一下。

正弦表

这个正弦函数表达式是这样的，

具体如下图所示；

正弦波

首先我们来简单分析一下这个波形：

• 在蓝色框内是一整个周期的波形；

• 在红色框内是四分之一个周期的波形；

其实不难发现，我们只要表示出这四分之一个波形的数据，其余剩下的波形都可以通过换算表示出来。

这样做就大大节省了查表法所需要的空间。

下面我们来介绍一下具体如何实现；

首先我们得搞清楚一个点，就是量纲，统一用归一化的形式来做。

• y的范围是 [-1, 1]；

• x的范围是[0, 2π]，当然，x的范围[-π, π]也是没问题的，下面会继续介绍；

而在实际的程序中，我们是无法这样去做的，这些数值我们期望通过整形类型去访问，所以我们要做到几点：

• 尽量避免使用浮点运算；

• 尽量避免除法；

• 尽量避免乘法；

所以这里有必要先了解一下Q格式，用左移和右移去代替乘法和除法，提高运算效率；

对于X轴的数据，于是可以将[0, 2π]细分成 128 ，256，512或者 1024 等等；

这里我们先细分成1024等份，正如前面提到的，只需要选择前四分之一周期的内容即可；

#define POINT_NUM  256
 #define PI          3.141592f
 for (int i = 0; i  6;
 /**
  | hAngle    | angle  | std   |
  | (0,16384]   | U0_90  | (0,0.5] |
  | (16384,32767]  | U90_180  | (0.5,0.99]|
  | (-16384,-1]   | U270_360  | (0,-0.5]  |
  | (-16384,-32768] | U180_270  | (-0.5,-1) |
 */
//SIN_MASK        0x0300u
 switch ( ( uint16_t )( uhindex ) & SIN_MASK )
 {          
//0x0200u
   case U0_90:
  Local_Components.hSin = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  Local_Components.hCos = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  break;
//0x0300u
   case U90_180:
  Local_Components.hSin = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  Local_Components.hCos = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  break;
//0x0000u
   case U180_270:
  Local_Components.hSin = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  Local_Components.hCos = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  break;
//0x0100u
   case U270_360:
  Local_Components.hSin =  
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  Local_Components.hCos =  
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  break;
   default:
  break;
 }
 return ( Local_Components );
}

由于输入的hAngle是Q1.15格式，所以这里可以简单画个图；下面是角度hAngle从0x0000~0xFFFF的示意图，如下所示；

角度值

这里注意，负数是以补码形式进行保存的，正数的补码等于他本身；

负数的补码是除了符号位外，其他位取反，然后加上1；

所以可以算一下 0xFFFF表示-1；

0x8000表示 -32768；

因为Q格式中有无符号的范围和带符号的范围，所以这里的hAngle充分利用这个16 bit的数据，并且兼容了传入参数可以是有符号int16或者是无符号uint16，这里比较绕，先看下面这张图片；

有符号和无符号 对比

上图中；

• 左边是有符号int16，右边是无符号数uint16；

• 两个圆形分别表示int16和uint16的数值范围；

• 左边绿色框内的波形相对应，橙色框内的波形相对应；

这里有几点我们要注意一下，无论是有符号和无符号，他们的周期都是相同的；

• 有符号整数 int16 ：-32768 ~ 32765 ，

• 无符号整数 uint16 ：0 ~ 65535，

所以这两者都使用 65536个数来表示正弦的一个周期，也就是 2π。

这里是比较关键的地方，因此对于 0x8000 这个关键点，有符号和无符号所表示的数值是不同的；

• 有符号整数 int16 ：0x8000 表示为 -32768；

• 无符号整数 uint16 ：0x8000 表示为 32768；

因此这他们刚好相差了一个周期 65536，所以表示的正弦数值y是相同的，正如上图中蓝色箭头①和②所示。

内部实现

由于有符号整数 int16 的最高位是符号位，所以这里我们先把它转化成无符号整形；

前面用 int32类型是为了防止数据溢出，这里加上32768，相当于对正弦波平移了半个周期，所以在下面y和x的映射关系需要根据实际情况来修改；

/* 10 bit index computation  */
shindex = ( ( int32_t )32768 + ( int32_t )hAngle );
uhindex = ( uint16_t )shindex;
//uhindex /= ( uint16_t )64;
uhindex = uhindex >> 6;

因为前面提高过正弦表的四分之一是256个数据，所以整个正弦周期应该是 1024 个细分数据，那也就是2的10次，就需要 10 bit；

• 10 bit的数据范围是 0~1023;

• 16 bit的数据范围是 0~65535;

为了获取有效的高10 bit数据，对数据右移 6 bit，具体如下所示；

所以，我们又可以得到以下这个数据的范围 0 ~ 1023 ，0 ~ 0x400

因此我们在程序中引入四个掩码，作为正弦波形落在哪个象限的标识位，这样也避免了使用除法运算，提高了效率，具体如下所示；

#define SIN_MASK        0x0300u
#define U0_90           0x0200u
#define U90_180         0x0300u                  
#define U180_270        0x0000u
#define U270_360        0x0100u

其中，U0_90表示 0° ~ 90°，以此类推；

那为什么是这个映射关系呢？

0~90°不应该是从 0x000u~0x100u吗？这里我们再简单解释一下；

前面有一个这样的操作，具体如下；

shindex = ( ( int32_t )32768 + ( int32_t )hAngle );
uhindex = ( uint16_t )shindex;

这里的hAngle加上32768，相当于加了一个π，正弦波形向左移动了半个周期；因此整体的映射关系要和原始的数据对应起来，具体如下所示；

最后，既然我们已经知道波形在哪个象限了，就可以根据当前象限和我们正弦表的关系来得到新的波形，这里有中心对称，关于y轴对称，简单做一下变换就可以得到正弦值和余弦值；

//SIN_MASK        0x0300u
 switch ( ( uint16_t )( uhindex ) & SIN_MASK )
 {          
//0x0200u
   case U0_90:
  Local_Components.hSin = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  Local_Components.hCos = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  break;
//0x0300u
   case U90_180:
  Local_Components.hSin = 
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  Local_Components.hCos = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  break;
//0x0000u
   case U180_270:
  Local_Components.hSin = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  Local_Components.hCos = 
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  break;
//0x0100u
   case U270_360:
  Local_Components.hSin =  
            -hSin_Cos_Table[( uint8_t )( 0xFFu - ( uint8_t )( uhindex ) )];
  Local_Components.hCos =  
            hSin_Cos_Table[( uint8_t )( uhindex )];
  break;
   default:
  break;
 }

搞硬件，别吹牛了，好好做个规划！

如果再写for循环，我就锤自己！

这是通信协议最"赤裸"的时刻！

读书到底为了什么，读研到底值不值？