算法训练——剑指offer(位运算)

摘要

200. 岛屿数量

一、网格类问题DFS方法

我们首先明确一下岛屿问题中的网格结构是如何定义的，以方便我们后面的讨论。网格问题是由 m×nm个小方格组成一个网格，每个小方格与其上下左右四个方格认为是相邻的，要在这样的网格上进行某种搜索。

岛屿问题是一类典型的网格问题。每个格子中的数字可能是0或者1。我们把数字为 0 的格子看成海洋格子，数字为1的格子看成陆地格子，这样相邻的陆地格子就连接成一个岛屿。

在这样一个设定下，就出现了各种岛屿问题的变种，包括岛屿的数量、面积、周长等。不过这些问题，基本都可以用 DFS 遍历来解决。

1.1. DFS的基本结构

网格结构要比二叉树结构稍微复杂一些，它其实是一种简化版的图结构。要写好网格上的 DFS 遍历，我们首先要理解二叉树上的 DFS 遍历方法，再类比写出网格结构上的 DFS 遍历。我们写的二叉树 DFS 遍历一般是这样的：

void traverse(TreeNode root) {
    // 判断 base case
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 访问两个相邻结点：左子结点、右子结点
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

可以看到，二叉树的 DFS 有两个要素：访问相邻结点和判断 base case。

• 第一个要素是访问相邻结点。二叉树的相邻结点非常简单，只有左子结点和右子结点两个。二叉树本身就是一个递归定义的结构：一棵二叉树，它的左子树和右子树也是一棵二叉树。那么我们的 DFS 遍历只需要递归调用左子树和右子树即可。

• 第二个要素是 判断 base case。一般来说，二叉树遍历的 base case 是 root == null。这样一个条件判断其实有两个含义：一方面，这表示 root 指向的子树为空，不需要再往下遍历了。另一方面，在 root == null 的时候及时返回，可以让后面的 root.left 和 root.right 操作不会出现空指针异常。

对于网格上的 DFS，我们完全可以参考二叉树的 DFS，写出网格 DFS 的两个要素：

首先，网格结构中的格子有多少相邻结点？答案是上下左右四个。对于格子 (r, c) 来说（r 和 c 分别代表行坐标和列坐标），四个相邻的格子分别是 (r-1, c)、(r+1, c)、(r, c-1)、(r, c+1)。换句话说，网格结构是「四叉」的。

其次，网格 DFS 中的 base case 是什么？从二叉树的 base case 对应过来，应该是网格中不需要继续遍历、grid[r][c] 会出现数组下标越界异常的格子，也就是那些超出网格范围的格子。

这一点稍微有些反直觉，坐标竟然可以临时超出网格的范围？这种方法我称为「先污染后治理」—— 甭管当前是在哪个格子，先往四个方向走一步再说，如果发现走出了网格范围再赶紧返回。这跟二叉树的遍历方法是一样的，先递归调用，发现 root == null 再返回。这样，我们得到了网格 DFS 遍历的框架代码：

    int[][] dist=new int[][]{{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};
    
    void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
        // 判断 base case
        // 如果坐标 (r, c) 超出了网格范围，直接返回
        if ( r=grid.length&& c = grid[0].length) {
            return;
        }
        // 访问上、下、左、右四个相邻结点
        for (int i=0;i{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};
    boolean[][] visit;

    public int numIslands(char[][] grid) {
        int count=0;
        int len=grid.length;
        int width=grid[0].length;
        visit=new boolean[len][width];
        for (int i=0;i{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};

    public int maxAreaOfIsland(int[][] grid) {
        int res = 0;
        for (int r = 0; r < grid.length; r++) {
            for (int c = 0; c < grid[0].length; c++) {
                if (grid[r][c] == 1) {
                    int a = dfs(grid, r, c);
                    res = Math.max(res, a);
                }
            }
        }
        return res;
    }

    private int dfs(int[][] grid, int i, int j) {
        if (i{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};

    public int islandPerimeter(int[][] grid) {
        for (int r = 0; r < grid.length; r++) {
            for (int c = 0; c < grid[0].length; c++) {
                if (grid[r][c] == 1) {
                    // 题目限制只有一个岛屿，计算一个即可
                    return dfs(grid, r, c);
                }
            }
        }
        return 0;
    }

    int dfs(int[][] grid, int i, int j) {
        // 函数因为「坐标 (r, c) 超出网格范围」返回，对应一条黄色的边
        if (i{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};

    public int largestIsland(int[][] grid) {
        int n = grid.length, res = 0;
        int[][] tag = new int[n][n];
        Map