数学建模学习（100）：交通运输问题建模

运输问题是一种特殊类型的线性规划问题，其目标是最小化将产品从多个来源分发到多个目的地的成本。

运输问题处理一类特殊的线性规划问题，其目标是以最低的总成本将在多个工厂（原产地）生产的同质产品运输到多个不同的目的地。问题陈述中给出了始发地可用的总供应量和目的地的总需求量。还给出了将单位货物从已知来源地运送到已知目的地的成本。我们的目标是确定导致总运输成本最低的最佳分配。

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一、题目

一家公司有 3 个工厂 - A、E 和 K。在 B、C、D 和 M 有四个主要仓库。A、E、K 的平均日产品供应分别为 30、40 和 50 个单位。该产品在 B、C、D 和 M 的平均日需求量分别为 35、28、32、25 单位。从每个工厂到每个仓库的每单位产品的运输成本如下： 问题是确定最小化总运输成本的路线计划。

二、建模

另i=(1,2,3)表示三个工厂，j=(1,2,3,4)表示四个仓库。如果在特定的解决方案中某个单元格的 xij 值缺失，这意味着工厂和仓库之间没有运输任何东西，当然，这里并没有缺失。

该问题可以用线性规划形式在数学上表述如下（自己动脑子想，别光看答案）：

目标：
Minimize = 6x11 + 8x12 + 8x13 + 5x14
+ 5x21 + 11x22 + 9x23 + 7x24
+ 8x31 + 9x32 + 7x33 + 13x34

供应约束：
x11 + x12 + x13 + x14 = 30
x21 + x22 + x23 + x24 = 40
x31 + x32 + x33 + x34 = 50

需求约束：
x11 + x21 + x31 = 35
x12 + x22 + x32 = 28
x13 + x23 + x33 = 32
x14 + x24 + x34 = 25

xij ≥ 0

上述问题有 7 个约束和 12 个变量。变量数很高，单纯形法不适用。因此，转换为一般数学模型：

目标 : 供应约束： 需求约束： 最后别忘了约束：xij ≥ 0

为了存在可行的解决方案，总容量必须等于总需求。 如果总供给=总需求，那么这是一个平衡的运输问题。如果用公式表达：

三、假设

• 只有一种商品从原产地运往目的地。
• 总供给等于总需求。
• Si（供给）和 Dj（需求）都是正整数。