java数据结构和算法——分治算法

一、分治算法的介绍

• 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
• 这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

二、分治算法可以求解的一些经典问题

• 二分搜索
• 大整数乘法
• 棋盘覆盖
• 合并排序
• 快速排序
• 线性时间选择
• 最接近点对问题
• 循环赛日程表
• 汉诺塔

三、分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤

• 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
• 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
• 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

四、分治(Divide-and-Conquer)算法设计模式

if |P|≤n0
  then return(ADHOC(P))
  //将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi)   递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk)   合并子问题
return(T)

• |P|表示问题P的规模；
• n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解；
• ADHOC§是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P；
• 因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC§求解；
• 算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

五、分治算法最佳实践-汉诺塔示例需求

请完成汉诺塔游戏的代码: 要求：1) 将A塔的所有圆盘移动到C塔。并且规定，2)在小圆盘上不能放大圆盘，3)在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘

六、分治算法最佳实践-汉诺塔思路分析

• 如果是有一个盘， A->C；
• 如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面所有的盘； 1）、先把 最上面的盘 A->B 2）、把最下边的盘 A->C 3）、把B塔的所有盘 从 B->C

七、分治算法最佳实践-汉诺塔代码实现

1、代码

package com.rf.springboot01.Algorithm.hannuota;

/**
 * @description: 汉诺塔代码示例
 * @author: xiaozhi
 * @create: 2020-10-30 21:18
 */
public class Hanoitower {
    public static void main(String[] args) {
        hanoiTower(5, 'A', 'B', 'C');
    }
    /** 
    * @Description: 汉诺塔的移动的方法 使用分治算法
    * @Param: num 盘子数量
    *         a 第一个a塔
    *         b 第二个b塔
    *         c 第三个c塔
    * @Author: xz  
    * @return: void
    * @Date: 2020/10/30 21:23
    */ 
    public static  void hanoiTower(int num, char a, char b, char c){
        //如果只有一个盘
        if(num ==1){
            System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
        }else{
            //当num >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘
            //1. 先把最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 c
            hanoiTower(num-1,a,c,b);
            //2. 把最下边的盘 A->C
            System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
            //3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔
            hanoiTower(num-1,b,a,c);
        }
    }
}

2、运行main函数，输出结果如下：

3、程序自动演示结果如下：

4、main函数运行结果和程序自动演示结果相同，如下图：