java数据结构和算法——动态规划算法

一、动态规划算法介绍

• 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法；
• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；
• 动态规划算法与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

二、动态规划算法最佳实践-背包问题示例需求

有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品： 1）、要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出 2）、要求装入的物品不能重复

三、动态规划算法最佳实践-背包问题思路图解

四、动态规划算法最佳实践-背包问题思路分析

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设 v[i]、w[i] 分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

公式如下：

• v[i][0]=v[0][j]=0 //表示填入表的第一行和第一列都是0
• w[i] > j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 表示当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
• w[i] =< j 时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} //表示当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，装入的方式: 1)、v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值。 2)、v[i] : 表示当前商品的价值 。 3)、v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值。

公式验证如下：

• 以步骤三的表为例， 当i=3,j=4时；
• v[i][j] = v[3][4] 表示第3行第4列的数据
• w[i] = w[3] =3 表示加入背包的商品容量
• 3 =< 4 (即 w[i] =< j); v[3][4] =max{v[2][4],v[3]+v[2][4-w[3]]} =max{v[2][4],v[3]+v[2][1]} =max{3000,2000+1500} =max{3000,2500} =3500

五、动态规划算法最佳实践-背包问题代码实现

1、代码

package com.rf.springboot01.Algorithm.dynamic;

/**
 * @description: 动态规划算法解决背包问题代码示例
 * @author: xiaozhi
 * @create: 2020-11-01 21:14
 */
public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w= {1,4,3};//物品重量
        int[] val={1500, 3000, 2000};//物品价值
        int m=4;//背包的容量
        int n =val.length;//物品的个数

        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v=new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列, 因为默认就是0
        for(int i=0;i