java数据结构和算法——克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

一、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍

• 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
• 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
• 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

二、连通网的最小生成树理解

• 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
• 对于如上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

三、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法——应用场景（公交站问题）

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通；各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里。问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短? （如下图）

四、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法图解

• 以上图为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

• 第1步：将边加入R中。 边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
• 第2步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
• 第3步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
• 第4步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。
• 第5步：将边加入R中。上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
• 第6步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。
• 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

五、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法分析

• 根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
• 问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。
• 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
• 问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
• 问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

六、如何判断是否构成回路——示例说明

• 在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点： 1）、C的终点是F。 2）、D的终点是F。 3）、E的终点是F。 4）、F的终点是F。
• 关于终点的说明： 1）、就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 2）、因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

七、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法——代码实现

1、代码

package com.rf.data_structure_algorithm.algorithm.kruskal;
import java.util.Arrays;
/**
 * @description: 克鲁斯卡尔算法
 * @author: xiaozhi
 * @create: 2020-11-16 20:55
 */
public class KruskalAlgorithm {

    int edgeNum; //边的个数
    char[] vertexs;//顶点数组
    int[][] matrix; //邻接矩阵
    static final int INF = Integer.MAX_VALUE;//使用 INF 表示两个顶点不能连通

    //构造器
    public KruskalAlgorithm(char[] vertexs, int[][] matrix) {

        //初始化顶点, 复制拷贝的方式
        this.vertexs = new char[vertexs.length];
        for (int i = 0; i