分类： 目标值离散 回归： 目标值连续
线性回归：寻找一种能预测的趋势
线性关系：
-二维：直线关系
-三维：平面
线性关系定义
y = k x + b y = kx + b y=kx+b
参数b，偏置项，为了对于单个特征的情况更加通用 参数k，权重
f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w d x d + b f(x) = w_1x_1 + w_2x_2 +...+ w_dx_d + b f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b
线性回归定义： 线性回归通过一个或多个自变量与因变量之间进行建模的回归分析
一元线性回归：变量只有一个 多元线性回归：变量两个或以上
通用公式： h ( w ) = w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . = w T x h(w) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... = w^Tx h(w)=w0+w1x1+w2x2+...=wTx 其中w，x为矩阵 w = ( w 0 w 1 w 2 ) w = \begin{pmatrix} w_0 \\ w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} w=⎝⎛w0w1w2⎠⎞, x = ( 1 x 1 x 2 ) x = \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} x=⎝⎛1x1x2⎠⎞
属性和权重的组合来预测结果
矩阵 数组 矩阵
0维 1
1维 [1, 2, 3]
2维 [ 必须是二维的
[1, 2, 3], 满足了特定的运算要求
[4, 5, 6]
]
3维 [[
[1, 2, 3],
[4, 5, 6]
],[
[1, 2, 3],
[4, 5, 6]
]]
数组的运算：加法，乘法 numpy.ndarray
矩阵乘法： (m行，l列) * (l行，n列) = （m行，n列）
特征值 权重 目标值
[[1, 2, 3, 4]] [[1], [2], [3], [4]] 一个样本一个值
(1, 4) (4, 1) (1,1)
(100, 4) (4, 1) (100,1)
数组相乘
import numpy as np
a = [
[1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8],
[1, 4, 3, 5]
]
b = [2, 2, 2, 2]
np.multiply(a, b)
Out[5]:
array([[ 2, 4, 6, 8],
[10, 12, 14, 16],
[ 2, 8, 6, 10]])
矩阵相乘
import numpy as np
a = [
[1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8],
[1, 4, 3, 5]
]
c = [
[2],
[2],
[2],
[2]
]
np.dot(a, c)
Out[9]:
array([[20],
[52],
[26]])
求函数中的参数w，使得损失函数最小
迭代的算法
损失函数（误差大小）f ( a ) = ( h w ( x 1 ) − y 1 ) 2 + ( h w ( x 2 ) − y 2 ) 2 + . . . + ( h w ( x m ) − y m ) 2 f(a)=(h_w(x_1)-y_1)^2 + (h_w(x_2)-y_2)^2 + ... +(h_w(x_m)-y_m)^2 f(a)=(hw(x1)−y1)2+(hw(x2)−y2)2+...+(hw(xm)−ym)2 f ( a ) = ∑ i = 1 m ( h w ( x i ) − y i ) 2 f(a) = \sum_{i=1}^{m}(h_w(x_i)-y_i)^2 f(a)=i=1∑m(hw(xi)−yi)2 y i y_i yi 为第i个训练样本的真实值 h w ( x i ) h_w(x_i) hw(xi) 为第i个训练赝本特征值组合预测函数 又称为最小二乘法
尽量去减少损失，算法的自我学习过程
算法 策略（损失函数） 优化
线性回归 误差平方和 正规方程
最小二乘法 梯度下降
w = ( X T X ) − 1 X T y w = (X^TX)^{-1}X^Ty w=(XTX)−1XTy
X X X 为特征矩阵 y y y 为目标值矩阵 缺点：当特征过于复杂，求解速度太慢
X T X^T XT 转置
X − 1 X^-1 X−1 求逆 -> X ∗ ? = 单 位 矩 阵 X * ? = 单位矩阵 X∗?=单位矩阵 单位矩阵
[
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]
]
方向 d = b c o s t ( w 0 + w 1 x 1 ) b w 1 d = \frac{bcost(w0+w1x1)}{bw1} d=bw1bcost(w0+w1x1)
w 1 : = − w 1 − a d w1 := -w1 -ad w1:=−w1−ad w 0 : = − w 0 − a d w0 := -w0 -ad w0:=−w0−ad
a是学习速率
沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新w值
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务
线性回归API普通最小二乘线性回归 sklearn.linear_model.LinearRegression coef_ 回归系数
使用SGD最小线性模型 sklearn.linear_model.SGDRegressor coef_ 回归系数
scikit-learn 优点：封装好，建立模型简单，预测简单 缺点：算法过程，参数都在算法内部优化
v0.18 v0.19 转换器 estimator 要求数据必须是二维数据 reshape(-1, 1)
TensorFlow 封装高低都有，自己实现线性回归
回归性能评估均方误差(Mean Squared Error)MSE评价机制 M S E = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y − ) 2 MSE=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^i-y^-)^2 MSE=m1i=1∑m(yi−y−)2
y i y^i yi预测值 y − y^- y−真实值
梯度下降和正规方程区别 梯度下降正规方程需要选择学习率a不需要需要多次迭代一次运算得出当特征数据量n大时能较好适用如果特征数量n较大则运算代价较大适用于各种类型的模型只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型大规模数据小规模数据，过拟合 代码示例# -*- coding: utf-8 -*-
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 加载数据
boston = load_boston()
# 训练集，测试集拆分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
boston.data, boston.target, test_size=0.25)
# 数据标准化处理
# 特征值 标准化
std_x = StandardScaler()
X_train = std_x.fit_transform(X_train)
X_test = std_x.transform(X_test)
# 目标值 标准化
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))
# 正规方程 线性回归预测
lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, y_train)
print(lr.coef_)
y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(X_test))
print(y_lr_predict)
# 梯度下降 线性回归预测
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(X_train, y_train)
print(sgd.coef_)
y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(X_test))
print(y_sgd_predict)
# 性能评估 均方误差
lr_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_lr_predict)
sgd_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict)
print(lr_mse) # 28.97
print(sgd_mse) # 31.36
