- 一、集合排列 和 多重集排列问题 1
- 二、 集合排列 和 多重集排列问题 2
- 三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )
- 四、 圆排列问题 1
- 五、 集合交替排列问题
- 六、 圆排列问题 2
- 七、 推广的牛顿二项式公式
- 八、 二项式展开问题
题目 :
- 1.条件 : 由 字母 a , b , c , d , e , f a, b,c,d,e,f a,b,c,d,e,f 组成 4 个字母的单词 ;
- 2.问题 1 : 每个字母在单词中 最多 出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
- 3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;
问题 1 解答 :
① 每个字母最多出现一次 , 那么该问题就是 集合的排列问题 , 即 P ( 6 , 4 ) P(6,4) P(6,4) ; ② 计算步骤 : P ( 6 , 4 ) = 6 ! ( 6 − 4 ) ! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 P(6,4) = \frac{6!}{(6-4)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 P(6,4)=(6−4)!6!=6×5×4×3=360
解析 : 问题限定 : 1>集合排列 : 每个字母 最多 出现 1 次 , 这是将问题 限定在了 集合的排列 问题上 ; 2>多重集排列 : 如果每个字母 最多 出现 n n n 次 ( n > 1 n > 1 n>1) , 那么就是多重集的排列 ; 利用乘法计数原则 , 从左到右依次计算 , 第 1 1 1 位 有 6 6 6 种 方案 , 每个单词只能出现 1 1 1 次 , 因此第 2 2 2 位 有 5 5 5 种方案 , 第 3 3 3 位 有 4 4 4 种方案 , 第 4 4 4 位 有 3 3 3 种方案 ; 相乘后 结果 6 × 5 × 4 × 3 = 360 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 6×5×4×3=360 ;
问题 2 解答 :
① 如果允许重复 , 这就变成了多重集的 排列问题 ; ② 单词每一位都有 6 种方案 , 结果为 6 4 = 1296 6^4 = 1296 64=1296 种方案数 ;
二、 集合排列 和 多重集排列问题 2题目 :
- 1.条件 : 由 字母 a , b , c , d , e , f a, b,c,d,e,f a,b,c,d,e,f 组成 4 个字母的单词 ;
- 2.问题 1 : 每个字母在单词中 最多 出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
- 3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;
问题 1 解答 :
① 每个单词出现一次 , 该问题本质上是 6元集 ( 集合 ) 的 排列问题 , 使用集合排序公式 P ( n , r ) P(n,r) P(n,r) 进行计算 ; n n n 元集的 r r r 排列 , 计算公式如下 : P ( n , r ) = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r)= n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!} P(n,r)=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)=(n−r)!n!
② 计算过程 : P ( 6 , 4 ) = 6 ! ( 6 − 4 ) ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 P(6,4) = \cfrac{6!}{(6-4)!} = \cfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 =360 P(6,4)=(6−4)!6!=2×16×5×4×3×2×1=6×5×4×3=360
问题 2 解答 :
① 如果字母允许重复 , 该文本本质上就是多重集的 排列问题 ; 如果不限制 其出现次数 , 多重集 ( 有 k k k 种元素 ) 中 选取 r r r 个元素 , 可以使用公式 k r k^r kr 进行计算 ;
② 结果是 6 4 = 1296 6^4=1296 64=1296 ;
三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )题目 :
- 1.条件 : 从 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中选取不同的数字 ;
- 2.问题 : 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 不相邻的 7 7 7 位数有多少 ; ( 这里不能出现 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 任意一个排列 如 654 , 546 654 , 546 654,546 等 ) ;
解答 :
分析 :
- 1.正面计算 : 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 不相邻的情况有很多 , 正面计算很困难 , 要考虑 个不相邻 , 2个 与 1个不相邻, 每个不相邻的数字之间的排列分布等情况 , 计算量很大 ;
- 2.寻找一一对应 : 这里 先计算 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 相邻的 方案数 A A A , P ( 9 , 7 ) − A P(9,7) -A P(9,7)−A 与 456 456 456 不相邻的 7 7 7 位数字 方案数是一一对应的 ;
计算 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 相邻的 7 7 7 位数 方案数 :
① 7 7 7 位数 中 必定 含有 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 三个数字 , 还需要选 4 4 4 位数 ; 此处先统计下 这 三个数的全排列数 : P ( 3 , 3 ) = 3 ! ( 3 − 3 ) ! = 3 × 2 × 1 1 = 6 P(3,3) = \cfrac{3!}{(3-3)!} = \cfrac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6 P(3,3)=(3−3)!3!=13×2×1=6
② 一共有 9 9 9 位数 , 其中 3 3 3 位 是必须要选择 , 那么还剩下 6 6 6 位可选数字 , 从剩下的 6 6 6 位数中选 4 4 4 位数字 ; P ( 6 , 4 ) = 6 ! ( 6 − 4 ) ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 = 360 P(6,4) = \cfrac{6!}{(6-4)!}=\cfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times1} = 360 P(6,4)=(6−4)!6!=2×16×5×4×3×2×1=360
③ 4 4 4 位数字选好之后, 开始安排 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 相邻排列所在位置 ; 4 4 4 个数字 , 其 两端 和 中间 3 3 3 个空隙 , 有 5 5 5 个可选位置 ;
④ 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 相邻的 7 7 7 位数 个数计算 : P ( 3 , 3 ) × P ( 6 , 4 ) × 5 = 6 × 360 × 5 = 10800 P(3,3) \times P(6,4) \times 5 = 6 \times 360 \times 5 =10800 P(3,3)×P(6,4)×5=6×360×5=10800
⑤ 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 不相邻的 7 7 7 位数 等价于 任意 7 7 7 位数个数 减去 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 相邻的 7 7 7 位数个数 ; P ( 9 , 7 ) − 10800 = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 − 10800 = 181440 − 10800 = 17064 P(9,7)-10800 = \cfrac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times1} - 10800 = 181440 - 10800 = 17064 P(9,7)−10800=2×19×8×7×6×5×4×3×2×1−10800=181440−10800=17064
四、 圆排列问题 1题目 :
- 1.条件 : 5 5 5 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
- 2.问题 1 1 1 : 每对夫妻相邻 , 有多少种方案 ;
解析 : 灵活使用圆排列公式 : n n n 元集 S S S 的环形 r − r- r− 排列数 : P ( n , r ) r = n ! r ( n − r ) ! \cfrac{P(n,r)}{r} = \cfrac{n!}{r(n-r)!} rP(n,r)=r(n−r)!n!
解答 : ① 先让 5 5 5 男坐下 , 使用公式计算 5 5 5 元集 S S S 的环境 5 − 5- 5−排列; P ( 5 , 5 ) 5 = 5 ! 5 × 1 = 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 \cfrac{P(5,5)}{5} = \cfrac{5!}{5\times1} =4!= 4\times3\times2\times1=24 5P(5,5)=5×15!=4!=4×3×2×1=24
② 每个妻子都有两种选择 , 坐在丈夫左边 或者 右边 , 有 2 5 = 32 2^5=32 25=32 种选择 ;
③ 根据乘法原则 : 共有 24 × 32 = 768 24\times32=768 24×32=768 种方案 ;
五、 集合交替排列问题题目 :
- 1.条件 : 5 5 5 个文科生 , 5 5 5 个理科生坐一排 ;
- 2.问题 1 1 1 : 有多少不同排法 ;
- 3.问题 2 2 2 : 交替坐成一排 有多少种 排法 ;
解答 :
问题 1 1 1 :
① 没有要求坐一排的话 就是 10 个人的 全排列 P ( 10 , 10 ) P(10, 10) P(10,10); 计算过程如下 : P ( 10 , 10 ) = 10 ! ( 10 − 10 ) ! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 1 = 3628800 P(10,10) = \cfrac{10!}{(10 - 10)!}=\cfrac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{1}=3628800 P(10,10)=(10−10)!10!=110×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800 ② 结果是 3628800 种不同的排法 ;
问题 2 2 2 :
① 计算 5 5 5 个文科生 作成一拍的 全排列 : P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 P(5,5) = \cfrac{5!}{(5-5)!}=5\times4\times3\times2\times1 = 120 P(5,5)=(5−5)!5!=5×4×3×2×1=120
② 计算 5 5 5 个理科生 坐成一排的全排列 : P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 P(5,5) = \cfrac{5!}{(5-5)!}=5\times4\times3\times2\times1 = 120 P(5,5)=(5−5)!5!=5×4×3×2×1=120
③ 5 5 5 个文科生 和 5 5 5 个理科生 交替排成一排 , 那么有两种插空方式 : 计算最终结果 : P ( 5 , 5 ) × P ( 5 , 5 ) × 2 = 120 × 120 × 2 = 14400 × 2 = 28800 P(5,5) \times P(5,5) \times 2 = 120 \times 120 \times 2 =14400 \times 2=28800 P(5,5)×P(5,5)×2=120×120×2=14400×2=28800
④ 最终结果是有 28800 28800 28800 种方案数 ;
六、 圆排列问题 2题目 :
- 1.条件 : 4 4 4 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
- 2.问题 1 1 1 : 没有任何限制条件就座 , 有多少种方案 ;
- 2.问题 1 1 1 : 4男 4女排成一排 , 有多少种方案 ;
- 2.问题 1 1 1 : 夫妻相邻 , 有多少种方案 ;
解答 :
问题 1 1 1 :
① 没有任何限制条件的圆排列 , 使用公式 n n n 元集的 环形 r − r- r− 排列个数 : P ( n , r ) r \cfrac{P(n,r)}{r} rP(n,r) ;
②计算过程如下 : P ( 8 , 8 ) 8 = 8 ! 8 × ( 8 − 8 ) ! = 7 ! = 5040 \cfrac{P(8,8)}{8}=\cfrac{8!}{8\times(8-8)!}=7!=5040 8P(8,8)=8×(8−8)!8!=7!=5040
问题 2 2 2 :
① 男女交替 排法 : 先排列 4男 全排列 P ( 4 , 4 ) P(4,4) P(4,4) , 再排列 4女 全排列 P ( 4 , 4 ) P(4,4) P(4,4) , 在进行交替插空 , 有两种方案 ;
② 最终结果是 : P ( 4 , 4 ) × P ( 4 , 4 ) × 2 = 1152 P(4,4)\times P(4,4)\times 2 = 1152 P(4,4)×P(4,4)×2=1152
问题 3 3 3 : ① 夫妻相邻就座 : 首先让 丈夫 圆排列 P ( 4 , 4 ) 4 = 3 ! = 6 \cfrac{P(4,4)}{4} = 3! =6 4P(4,4)=3!=6 , 然后让妻子 坐在丈夫左边 或右边 , 每人两种选择 2 4 = 16 2^4=16 24=16 种选择 ;
② 最终结果是 96 96 96 种 ;
七、 推广的牛顿二项式公式二项式定理 :
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k} (x+y)n=k=0∑n(kn)xkyn−k
牛顿二项式公式 :
( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k (1+x)n=k=0∑n(kn)xk
牛顿二项式公式 变体 :
( 1 + a x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k x k (1+ax)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kx^k (1+ax)n=k=0∑n(kn)akxk
推广的牛顿二项式公式 :
( 1 + x ) − n = ∑ k = 0 n ( − n k ) x k (1+x)^{-n}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{-n}{k}x^k (1+x)−n=k=0∑n(k−n)xk
八、 二项式展开问题题目 :
- 条件 : ( 1 + 2 x ) n (1+2x)^n (1+2x)n 展开 , ( 1 ≤ k ≤ n ) ( 1 \leq k \leq n) (1≤k≤n)
- 问题 : 其中 x k x^k xk 的系数是多少 ;
问题分析 :
- ① 二项式定理 : ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} x^k y^{n-k} (x+y)n=k=0∑n(kn)xkyn−k
- ② 推论 : ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k (1 + x)^n = \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} x^k (1+x)n=k=0∑n(kn)xk
- ③ 换元法 : 使用 a x ax ax 将推论中的 x x x 替换 :
( 1 + a x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) ( a x ) k = ∑ k = 0 n ( n k ) a k x k \begin{array}{lcl} (1 + ax)^n & = & \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} (ax)^k \\ & = & \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} a^k x^k \end{array} (1+ax)n==∑k=0n(kn)(ax)k∑k=0n(kn)akxk
解答 :
① 根据 牛顿二项式 的推广公式 : ( 1 + a x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k x k (1+ax)^n = \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kx^k (1+ax)n=k=0∑n(kn)akxk
② ( 1 + 2 x ) n (1+2x)^n (1+2x)n 的 x k x^k xk 项为 : ( n k ) 2 k x k \dbinom{n}{k} 2^kx^k (kn)2kxk x k x^k xk 前面的系数是 ( n k ) 2 k \dbinom{n}{k} 2^k (kn)2k
