- 牛顿二项式公式
- 牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式
- 推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况
- 推导 C(-n,k) 的公式
- 推广牛顿二项式
- 题目解析1
- 题目解析2
( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}x^k (1+x)n=k=0∑n(kn)xk
牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式公式推导 : 使用 a x ax ax 替换 x x x , 然后将公式展开即可 : ( 1 + a x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) ( a x ) k = ∑ k = 0 n ( n k ) a k x k \begin{array}{lcl}\\ (1 + ax)^n &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}(ax)^k \\ \\ \\ &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k x^k \\ \\ \end{array} (1+ax)n==∑k=0n(kn)(ax)k∑k=0n(kn)akxk
推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况将二项式的 幂 − n -n −n 代入到 牛顿二项式 中 :
( 1 + x ) − n = ∑ k = 0 n ( − n k ) x k (1 + x)^{-n} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{-n}{k}x^k (1+x)−n=k=0∑n(k−n)xk
( 这里一定要注意 , n n n 是正数 , − n -n −n 是负数 , 累加的时候 , k k k 从 0 0 0 到 n n n 进行累加 ) ( ( − n k ) \dbinom{-n}{k} (k−n) 此时没有组合数意义 , 只是单纯的计算 )
推导 C(-n,k) 的公式下面推导 该二项式系数 ( − n k ) \dbinom{-n}{k} (k−n) 值 :
① 将 C ( n , k ) C(n, k) C(n,k) 展开 :
C ( n , k ) = ( n k ) = n ! ( n − k ) ! k ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ⋯ ( n − k + 1 ) ( n − k ) ( n − k − 1 ) ⋯ k ! ( n − k ) ( n − k − 1 ) ⋯ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! \begin{array}{lcl}C(n,k) =\dbinom{n}{k} &=& \cfrac{n!}{(n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) (n-k) (n-k-1) \cdots}{k! (n-k) (n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) }{k! } \end{array} C(n,k)=(kn)===(n−k)!k!n!k!(n−k)(n−k−1)⋯n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−k+1)(n−k)(n−k−1)⋯k!n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−k+1)
② 将 C ( − n , k ) C(-n, k) C(−n,k) 对应展开 : 将 − n -n −n 代替 n n n 带入 :
C ( − n , k ) = ( − n k ) = ( − n ) ! ( − n − k ) ! k ! = − n ( − n − 1 ) ( − n − 2 ) ( − n − 3 ) ⋯ ( − n − k + 1 ) ( − n − k ) ( − n − k − 1 ) ⋯ k ! ( − n − k ) ( − n − k − 1 ) ⋯ = − n ( − n − 1 ) ( − n − 2 ) ( − n − 3 ) ⋯ ( − n − k + 1 ) k ! = ( − 1 ) ( n ) ( − 1 ) ( n + 1 ) ( − 1 ) ( n + 2 ) ( − 1 ) ( n + 3 ) ⋯ ( − 1 ) ( n + k − 1 ) k ! [ 1 ] = ( − 1 ) k ( n ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ⋯ ( n + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k ( n + k − 1 ) ⋯ ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( n ) k ! = ( − 1 ) n ( n + k − 1 k ) \begin{array}{lcl}C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} &=& \cfrac{(-n)!}{(-n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots ( -n-k+1) (-n-k) (-n-k-1) \cdots}{k! (-n-k) (-n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots (-n-k+1) }{k! }\\ \\ \\ &=&\cfrac{ (-1 ) ( n) (-1) (n+1) (-1) (n+2) (-1)(n+3) \cdots (-1)(n+k-1) }{k!} \qquad[1]\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{( n) (n+1) (n+2) (n+3) \cdots (n+k-1) }{k!}\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{(n+k-1) \cdots(n+3) (n+2) (n+1) ( n) }{k!} \\ \\ \\ &=& (-1)^n \dbinom{n+k-1}{k} \end{array} C(−n,k)=(k−n)=======(−n−k)!k!(−n)!k!(−n−k)(−n−k−1)⋯−n(−n−1)(−n−2)(−n−3)⋯(−n−k+1)(−n−k)(−n−k−1)⋯k!−n(−n−1)(−n−2)(−n−3)⋯(−n−k+1)k!(−1)(n)(−1)(n+1)(−1)(n+2)(−1)(n+3)⋯(−1)(n+k−1)[1](−1)kk!(n)(n+1)(n+2)(n+3)⋯(n+k−1)(−1)kk!(n+k−1)⋯(n+3)(n+2)(n+1)(n)(−1)n(kn+k−1)
( [1] 此时分子上有 k k k 个 − 1 -1 −1 相乘 , 提取出来后为 ( − 1 ) k (-1)^k (−1)k )
推导结果是 : C ( − n , k ) = ( − n k ) = ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k} C(−n,k)=(k−n)=(−1)k(kn+k−1)
− n -n −n 中取 k k k , 结果是 ( − 1 ) n (-1)^n (−1)n 乘以 n + k − 1 n+k-1 n+k−1 中取 k k k ;
推广牛顿二项式二项式的 幂 为 − n -n −n : ( 1 + x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − n k ) x k (1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{-n}{k}x^k (1+x)−n=k=0∑∞(k−n)xk
将之前推导出的 C ( − n , k ) = ( − n k ) = ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k} C(−n,k)=(k−n)=(−1)k(kn+k−1) 带入到上述公式中 : ( 1 + x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) x k (1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} x^k (1+x)−n=k=0∑∞(−1)k(kn+k−1)xk
使用 − x -x −x 换元后变型 : ( 1 − x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) ( − 1 ) k x k = ∑ k = 0 ∞ ( n + k − 1 k ) x k \begin{array}{lcl}(1-x)^{-n} &=& \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} (-1)^kx^k\\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n+k-1}{k} x^k \end{array} (1−x)−n==∑k=0∞(−1)k(kn+k−1)(−1)kxk∑k=0∞(kn+k−1)xk
题目解析1题目 : 在 ( 1 + 2 x ) n (1+2x)^n (1+2x)n 展开式中 , x k x^k xk 系数是多少 ;
解 :
根据牛顿二项式展开式子 : ( 1 + 2 x ) n = ∑ k = 0 ∞ ( n k ) ( 2 x ) k = ∑ k = 0 ∞ ( n k ) 2 k x k \begin{array}{lcl}(1+2x)^n &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}(2x)^k\\ \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}2^k x^k \end{array} (1+2x)n==∑k=0∞(kn)(2x)k∑k=0∞(kn)2kxk
结论 : x k x^k xk 之前的系数是 2 k ( n k ) 2^k\dbinom{n}{k} 2k(kn)
题目解析2题目 : 如果 ( 1 − 3 x ) − 5 = ∑ k = 0 ∞ a k x k (1-3x)^{-5} = \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k (1−3x)−5=∑k=0∞akxk , 求 a k a_k ak ;
解 :
① 使用 推广的牛顿二项式 展开 二项式 :
( 1 − 3 x ) − 5 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 5 + k − 1 k ) ( − 3 x ) k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 5 + k − 1 k ) ( − 3 ) k x k = ∑ k = 0 ∞ 3 k ( 4 + k k ) x k \begin{array}{lcl}\\ (1-3x)^{-5} &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5 + k - 1}{k} (-3x) ^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5+k-1}{k} (-3)^k x^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} 3^k \dbinom{4+k}{k} x^k \end{array} (1−3x)−5===∑k=0∞(−1)k(k5+k−1)(−3x)k∑k=0∞(−1)k(k5+k−1)(−3)kxk∑k=0∞3k(k4+k)xk
② 结果为 : a k = 3 k ( 4 + k k ) = 3 k ( 4 + k ) ! 4 ! k ! a_k = 3^k \dbinom{4+k}{k} = 3^k \cfrac{(4+k)!}{4! k!} ak=3k(k4+k)=3k4!k!(4+k)!
