【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表 可满足式 矛盾式 重言式 )

基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;

一、命题与联结词

原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

• 真 : 1 1 1 表示 命题真值 为真 ;
• 假 : 0 0 0 表示 命题真值 为假 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

• 否定联结词 : ¬ \lnot ¬
• 合取联结词 : ∧ \land ∧ , p ∧ q p \land q p∧q , p q pq pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
• 析取联结词 : ∨ \lor ∨ , p ∨ q p \lor q p∨q , p q pq pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
• 蕴涵联结词 : → \to → , p → q p \to q p→q , p p p 真 q q q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
• 等价联结词 : ↔ \leftrightarrow ↔ , p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q , p q pq pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pq pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;

二、命题公式

命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

三、命题公式示例

命题公式示例 :

简单命题 : p p p

复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;

¬ p \lnot p ¬p ( p → q ) (p \to q) (p→q) , 最外层的括号可以省略 , p → q p \to q p→q ( p → ( q → r ) ) (p \to (q \to r)) (p→(q→r)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 , p → ( q → r ) p \to (q \to r) p→(q→r) ;

四、联结词优先级

联结词优先级 :

“ ¬ \lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔”

∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 优先级相同 ;

→ , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔ 优先级相同 ;

五、真值表

真值表 :

p p p q q q p → q p \to q p→q p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

p → q p \to q p→q 是 可满足式 ;

p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q 是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;

p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p 是 重言式 , 又称为 永真式 ;

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;