【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )

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一、 一阶谓词逻辑公式

命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

如果 A A A 是公式 , 则 ∀ x A \forall x A ∀xA 和 ∃ x A \exist x A ∃xA 也是公式

一阶谓词逻辑公式相关概念 : 以 ∀ x A \forall x A ∀xA , ∃ x A \exist x A ∃xA 公式为例 ;

指导变元 : ∀ , ∃ \forall , \exist ∀,∃ 量词后面的 x x x 称为 指导变元

辖域 : A A A 称为 对应量词的辖域 ;

约束出现 : 在 ∀ x \forall x ∀x , ∃ x \exist x ∃x 辖域 A A A 中 , x x x 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

自由出现 : 辖域 A A A 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;

二、 一阶谓词逻辑公式 示例

一阶谓词逻辑公式 :

∀ x ( F ( x ) → ∃ y ( G ( y ) ∧ H ( x , y , z ) ) ) \forall x ( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) ) ∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))

公式解读 : 对于 所有满足 F F F 性质的 x x x , 都 存在满足 G G G 性质的对象 y y y , 使得 x , y , z x,y,z x,y,z 满足关系 H H H ;

∀ x \forall x ∀x 的 辖域 是 ( F ( x ) → ∃ y ( G ( y ) ∧ H ( x , y , z ) ) ) ( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) ) (F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y,z)))

∃ y \exist y ∃y 的 辖域 是 ( G ( y ) ∧ H ( x , y , z ) ) ) ( G(y) \land H(x,y,z) ) ) (G(y)∧H(x,y,z)))

x , y x , y x,y 在量词后面 , 是 指导变元 , 是 约束出现 的变元 ;

z z z 没有在量词后面 , 是 自由出现 的变元 ;

指导变元 类似于程序中预先定义的 变量/参数 , 自由出现 的变元 相当于程序中的 临时变量 ,