【集合论】集合概念与关系 ( 集族 | 集族示例 | 多重集 )

一、 集族

集族 : 除 P ( A ) P(A) P(A) 幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;

带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;

A \mathscr{A} A 是一个集族 , S S S 是一个集合

对于任意 α ∈ S \alpha \in S α∈S , 存在 唯一的 A α ∈ A A_\alpha \in \mathscr{A} Aα​∈A ( α \alpha α 是 S S S 中的元素 , A α A_\alpha Aα​ 是集族 A \mathscr{A} A 中的集合元素 )

并且 A \mathscr{A} A 集族中的任何集合元素 , 都对应 S S S 集合中的某一个元素

称 A \mathscr{A} A 集族 是以 S S S 集合 为指标集的集族

S S S 集合 是 A \mathscr{A} A 集族 的 指标集

记作 : A = { A α ∣ α ∈ S } \mathscr{A} = \{A_\alpha | \alpha \in S \} A={Aα​∣α∈S}

如果将 ∅ \varnothing ∅ 看做集族 , ∅ \varnothing ∅ 称为 空集族 ;

二、 集族示例

1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

集合 A 1 = { 1 } A_1 = \{1\} A1​={1} , 集合 A 2 = { 2 } A_2 = \{ 2 \} A2​={2} , 那么 集族 A = { A 1 , A 2 } \mathscr{A} = \{ A_1 , A_2 \} A={A1​,A2​} 是以 { 1 , 2 } \{1 , 2\} {1,2} 集合为指标集的集合 ;

2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

p p p 是素数

集合 A k = { x ∣ x = k ( m o d    p ) } A_k = \{ x | x = k( mod \ \ p ) \} Ak​={x∣x=k(mod  p)} , 其中 k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , p − 1 k = 0, 1 , 2 , \cdots , p-1 k=0,1,2,⋯,p−1

集族 A = { A 0 , A 1 , A 2 , ⋯   , A p − 1 } \mathscr{A} = \{ A_0 , A_1 , A_2 , \cdots , A_{p-1} \} A={A0​,A1​,A2​,⋯,Ap−1​} 是以 集合 { 0 , 1 , 2 , ⋯   , p − 1 } \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} {0,1,2,⋯,p−1} 为指标集的 集族 ;

记作 : A = { A k ∣ k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , p − 1 } } \mathscr{A} = \{ A_k | k \in \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} \} A={Ak​∣k∈{0,1,2,⋯,p−1}}

3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限

集合 A n = { x ∈ N   ∣   x = n } An = \{ x \in N \ | \ x = n \} An={x∈N ∣ x=n} 是由一个自然数元素 n n n 组成的集合 ;

集族 A = { A n ∣ n ∈ N } \mathscr{A} = \{ A_n | n \in N \} A={An​∣n∈N} 就是以 N N N 为指标集的集族 ;

4. 集族示例 4 : 指标集 N + N_+ N+​ 无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;

N + = N − 0 N_+ = N - {0} N+​=N−0 , N + N_+ N+​ 是除 0 0 0 意外的自然数集合

集合 A n = { x   ∣   0 ≤ x < 1 / n ∧ n ∈ N } A_n = \{ x \ | \ 0 \leq x < 1 / n \land n \in N \} An​={x ∣ 0≤x