【集合论】有序对 ( 有序对 | 有序三元组 | 有序 n 元祖 )

一、 有序对

有序对概念 :

< a , b > = { { a } , { a , b } } = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} ={{a},{a,b}}

其中 a a a 是第一个元素 , b b b 是第二个元素 ;

记做 < a , b > , 也可以记做 ( a , b ) (a , b) (a,b)

理解 1 : a , b a, b a,b 是有顺序的 , 单个元素的集合中的元素是第一个元素 , 两个元素集合中的另一个元素是第二个元素 ;

理解 2 ( 推荐 ) : 第一个元素出现在每个子集合中 , 第二个元素只出现在一个子集合中 , 通过这种方式 , 保证了有序对的定义 , 一前一后两个元素 , 前后顺序不同 , 对应的有序对不同 ;

下面是相同的两个元素的不同的有序对 :

有序对 < a , b > = { { a } , { a , b } } = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} ={{a},{a,b}}

有序对 < b , a > = { { b } , { a , b } } = \{ \{ b \} , \{ a , b \} \} ={{b},{a,b}}

二、 有序对性质的引理、定理

1. 引理 1 : { x , a } = { x , b } \{ x , a \} = \{ x, b \} {x,a}={x,b} ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a = b a=b a=b

两个集合如果相等 , 当且仅当 a = b a = b a=b ;

2. 引理 2 : 若 A = B ≠ ∅ \mathscr{A} = \mathscr{B} \not= \varnothing A=B​=∅ , 则有

① ⋃ A = ⋃ B \bigcup \mathscr{A} = \bigcup \mathscr{B} ⋃A=⋃B

② ⋂ A = ⋂ B \bigcap \mathscr{A} = \bigcap \mathscr{B} ⋂A=⋂B

说明 : 集族 A \mathscr{A} A 与 集族 B \mathscr{B} B 相等 , 并且 两个集族都不为空 , 那么 两个集族的广义交相等 , 两个集族的广义并也相等 ;

3. 定理 : < a , b > = < c , d > = = ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a = c ∧ b = d a = c \land b = d a=c∧b=d

通过上述定理 , 说明有序对是有顺序的 ;

4. 推论 : a ≠ b a \not= b a​=b ⇒ \Rightarrow ⇒ < a , b > ≠ < b , a > \not= ​=

三、 有序三元组

有序三元组 :

< a , b , c > = < < a , b > , c > = < , c > =

有序三元组是有序二元组在前 , 第三个元素在后 , 组成的有序对 ;

有序 n n n 元祖 : n ≥ 2 n \geq 2 n≥2

< a 1 , a 2 , ⋯   , a n > = < < a 1 , ⋯   , a n − 1 > , a n > = < , a_n > =

先拿前 n − 1 n-1 n−1 个元素组成一个有序 n − 1 n-1 n−1 元祖 , 该 n − 1 n-1 n−1 元祖在前 , 然后跟第 n n n 个元素 a n a_n an​ 在后 , 构成有序对 ;

四、 有序 n 元组性质定理

有序 n n n 元组性质定理 :

< a 1 , a 2 , ⋯   , a n > = < b 1 , b 2 , ⋯   , b n > = = ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a i = b i , i = 1 , 2 , ⋯   , n a_i = b_i , i = 1, 2, \cdots , n ai​=bi​,i=1,2,⋯,n

说明 : 两个有序 n n n 元祖 , 每个对应位置上的元素两两相同 , 两个 n n n 元组有序对才相等 ;