【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )

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一、 卡氏积

卡氏积 : A , B A , B A,B 是两个集合 , 由 A A A 集合中的元素作为第一个元素 , 由 B B B 集合中的元素作为第二个元素 , 符合上述条件的有序对组成的集合 , 称为集合 A A A 与 B B B 的卡氏积 ;

记作 : A × B A \times B A×B

符号化表示 : A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A \times B = \{ | x \in A \land y \in B \} A×B={∣x∈A∧y∈B}

集合 A A A 与 集合 B B B 的 卡氏积 是一个 新的集合 , 这个新集合是一个 有序对集合 ;

二、 卡氏积示例

集合 A = { ∅ , a } A = \{ \varnothing , a \} A={∅,a} , 集合 B = { 1 , 2 , 3 } B = \{ 1, 2, 3 \} B={1,2,3}

A × B = { < ∅ , 1 > , < ∅ , 2 > , < ∅ , 3 > , < a , 1 > , < a , 2 > , < a , 3 > } A \times B = \{ , , , , , \} A×B={,,,,,}

每个有序对 第一个元素来自 A A A 集合 , 第二个元素来自 B B B 集合 ;

B × A = { < 1 , ∅ > , < 2 , ∅ > , < 3 , ∅ > , < 1 , a > , < 2 , a > , < 3 , a > } B \times A = \{ , , , , , \} B×A={,,,,,}

每个有序对第一个元素来自 B B B 集合 , 第二个元素来自 A A A 集合 ;

A × A = { < ∅ , ∅ > , < ∅ , a > , < a , ∅ > , < a , a > } A \times A = \{< \varnothing, \varnothing> , , , \} A×A={,,,}

每个有序对第一个元素来自 A A A 集合 , 第二个元素来自 A A A 集合 ;

B × B = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 2 , 1 > , < 2 , 2 > , < 2 , 3 > , < 3 , 1 > , < 3 , 2 > , < 3 , 3 > } B \times B = \{ , , , , , , , , \} B×B={,,,,,,,,}

每个有序对第一个元素来自 B B B 集合 , 第二个元素来自 B B B 集合 ;

三、 卡氏积性质

1. 非交换性

A × B ≠ B × A A \times B \not= B \times A A×B​=B×A

有三种特殊情况 , 交换性成立

① A = B A = B A=B

② A = ∅ A = \varnothing A=∅

③ B = ∅ B = \varnothing B=∅

2. 非结合性

( A × B ) × C ≠ A × ( B × C ) ( A \times B ) \times C \not= A \times ( B \times C) (A×B)×C​=A×(B×C)

有三种特殊情况 , 结合性成立

① A = ∅ A = \varnothing A=∅

② B = ∅ B = \varnothing B=∅

③ C = ∅ C = \varnothing C=∅

3. 分配率

A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) A \times ( B \cup C ) = (A \times B) \cup (A \times C) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

4. 有序对为空的情况

A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅ A \times B = \varnothing \Leftrightarrow A = \varnothing \lor B= \varnothing A×B=∅⇔A=∅∨B=∅

四、 n 维卡氏积

n 维卡氏积 :

A 1 × A 2 × ⋯ × A n = { < x 1 , x 2 , ⋯   , x n > ∣ x 1 ∈ A 1 ∧ x 2 ∈ A 2 ∧ ⋯ ∧ x n ∈ A n } A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ | x_1 \in A_1 \land x_2 \in A_2 \land \cdots \land x_n \in A_n \} A1​×A2​×⋯×An​={∣x1​∈A1​∧x2​∈A2​∧⋯∧xn​∈An​}

n n n 个集合的卡氏积 , n n n 维卡氏积结果 , 每个有序对有 n n n 个元素 , 每个元素都分别 按照指定顺序 来自这 n n n 个集合 ;

A n = A × A × ⋯ × A ⏟ n 个 A^n = \begin{matrix} \underbrace{ A \times A \times \cdots \times A } \\ n 个\end{matrix} An= A×A×⋯×A​n个​

这是 n n n 个 集合 A A A 的 n n n 维卡氏积 ;

五、 n 维卡氏积个数

n n n 维卡氏积个数 :

∣ A i ∣ = n i   ,   i = 1 , 2 , ⋯   , n |A_i| = n_i \ , \ i = 1, 2, \cdots , n ∣Ai​∣=ni​ , i=1,2,⋯,n

⇒ \Rightarrow ⇒

∣ A 1 × A 2 × ⋯ × A n ∣ = n 1 × n 2 × ⋯ × n n | A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n | = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n ∣A1​×A2​×⋯×An​∣=n1​×n2​×⋯×nn​

∣ A i ∣ = n i |A_i| = n_i ∣Ai​∣=ni​ , i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1, 2, \cdots , n i=1,2,⋯,n : 表示 第 i i i 个集合 A i A_i Ai​ 的元素个数是 n i n_i ni​ ;

∣ A 1 × A 2 × ⋯ × A n ∣ | A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n | ∣A1​×A2​×⋯×An​∣ : 表示 n n n 个集合的卡氏积结果集合个数 ;

n 1 × n 2 × ⋯ × n n n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n n1​×n2​×⋯×nn​ : n n n 个集合的卡氏积结果 ;

六、 n 维卡氏积性质

n 维卡氏积性质 : 与 2 2 2 维卡氏积性质类似