【集合论】二元关系 ( 二元关系记法 | A 到 B 的二元关系 | 二元关系个数 | 二元关系示例 )

一、 二元关系

n n n 元关系 :

元素 都是 有序 n n n 元组的集合 ;

n n n 元关系示例 :

3 元关系 : F 1 = { < 1 , 2 , 3 > , < a , b , c > , < 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_1 = \{ , , \} F1​={,,}

F 1 F_1 F1​ 是 3 3 3 元关系 , 其每个元素都是 有序 3 3 3 元组 ;

4 元关系 : F 2 = { < 1 , 2 , 3 , 4 > , < a , b , c , d > , < 语 文 , 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_2 = \{ , , \} F2​={,,}

F 2 F_2 F2​ 是 4 4 4 元关系 , 其每个元素都是 有序 4 4 4 元组 ;

上述有序 n n n 元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;

二、 二元关系记法

如果 F F F 是二元关系 ( F F F 是有序 2 2 2 元组集合 )

则有 :

< x , y > ∈ F \in F ∈F

⇔ \Leftrightarrow ⇔

x 与 y 有 F 关 系 x 与 y 有 F 关系 x与y有F关系

⇔ \Leftrightarrow ⇔

x F y xFy xFy

二元关系记法 :

① 中缀记法 ( infix ) : x F y xFy xFy

② 前缀记法 ( prefix ) : F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) , 或 F x y Fxy Fxy

③ 后缀记法 ( suffix ) : < x , y > ∈ F \in F ∈F , 或 x y F xyF xyF

如 : 2 < 5 2 < 5 2 } R_3 = \{ \} R3​={} , a 1 a_1 a1​ 与 b b b 有关系 , a 2 a_2 a2​ 与 b b b 没有关系 ;

R 4 = { < a 1 , b > , < a 2 , b > } R_4 = \{ , \} R4​={,} , a 2 a_2 a2​ 与 b b b 有关系 , a 1 a_1 a1​ 与 b b b有关系 ;

B B B 集合 与 A A A 集合的卡氏积是 :

A × B = { ∅ , { < b , a 1 > } , { < b , a 2 > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ \} , \{ \} \} A×B={∅,{},{}}

分析 : 其中有 3 3 3 个有序对 , 其二元关系个数有 2 2 × 1 = 4 2^{2 \times 1} = 4 22×1=4 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 0 0 0 个有序对的个数 0 0 0 个 , 1 1 1 个有序对的个数 2 2 2 个 , 2 2 2 个有序对个数 1 1 1 个 ;

B B B 集合 到 A A A 集合的 二元关系 : 有 4 4 4 个 ;

R 5 = ∅ R_5 = \varnothing R5​=∅ , b b b 与 a 1 a_1 a1​ 没有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2​ 没有关系 ;

R 6 = { < b , a 1 > } R_6 = \{ \} R6​={} , b b b 与 a 1 a_1 a1​ 有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2​ 没有关系 ;

R 7 = { < b , a 2 > } R_7 = \{ \} R7​={} , b b b 与 a 1 a_1 a1​ 没有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2​ 有关系 ;

R 8 = { < b , a 1 > , < b , a 2 > } R_8 = \{ , \} R8​={,} , b b b 与 a 1 a_1 a1​ 有关系 , b b b 与 a 2 a_2 a2​ 有关系 ;