【集合论】二元关系 ( 二元关系运算示例 | 逆运算示例 | 合成运算示例 | 限制运算示例 | 像运算示例 )

一、逆运算示例

A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c, d \} A={a,b,c,d}

B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b, \} B={a,b,}

C = { < a , b > , < c , d > } C = \{ , \} C={,}

求上述集合的逆运算

求逆运算只能针对于 有序对 进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;

A A A 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;

A − 1 = ∅ A^{-1} = \varnothing A−1=∅

B B B 集合中 有 有序对 < c , d > , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

B − 1 = { < d , c > } B^{-1} = \{ \} B−1={}

C C C 集合中 有 有序对 < a , b > , < c , d > , , , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

C − 1 = { < b , a > , < d , c > } C^{-1} = \{ , \} C−1={,}

二、合成运算示例 ( 逆序合成 )

B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b , \} B={a,b,}

R = { < a , b > , < c , d > } R = \{ , \} R={,}

G = { < b , e > , < d , c > } G = \{ , \} G={,}

求以下的合成运算结果 , 这里的 合成 指的是 逆序合成

B o R − 1 B o R^{-1} BoR−1

R − 1 = { < b , a > , < d , c > } R^{-1} = \{ , \} R−1={,}

B o R − 1 = { < c , d > } o { < b , a > , < d , c > } = { < d , d > } B o R^{-1} = \{ \} o \{ , \} = \{ \} BoR−1={}o{,}={}

合成 默认是 逆序合成

G o B G o B GoB

G o B = { < b , e > , < d , c > } o { < c , d > } = { < c , c > } G o B = \{, \} o \{ \} = \{ \} GoB={,}o{}={}

G o R G o R GoR

G o R = { < b , e > , < d , c > } o { < a , b > , < c , d > } = { < a , e > , < c , c > } G o R =\{, \} o \{ , \} = \{ , \} GoR={,}o{,}={,}

R o G R o G RoG

R o G = { < a , b > , < c , d > } o { < b , e > , < d , c > } = { < d , d > } R o G =\{ , \} o \{, \} = \{ \} RoG={,}o{,}={}

三、限制运算示例

F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ , , \} F={,,}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制

1. 求 F ↾ { a } F \upharpoonright \{a\} F↾{a}

F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a } \{a\} {a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制 ;

F ↾ { a } = { < a , b > , < a , { a } > } F \upharpoonright \{a\} = \{ , \} F↾{a}={,}

2. 求 F ↾ { { a } } F \upharpoonright \{\{a\}\} F↾{{a}}

F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素的有序对 , { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素是 { a } \{a\} {a} , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

F ↾ { { a } } = { < { a , { a } } > } F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ \} F↾{{a}}={}

3. 求 F ↾ { a , { a } } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} F↾{a,{a}}

F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制 ;

F ↾ { a , { a } } = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ , , \} F↾{a,{a}}={,,}

4. 求 F − 1 ↾ { { a } } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} F−1↾{{a}}

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ , , \} F−1={,,}

F − 1 F^{-1} F−1 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F − 1 F^{-1} F−1 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

F − 1 ↾ { { a } } = { < { a } , a > } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ \} F−1↾{{a}}={}

四、像运算示例

F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ , , \} F={,,}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象

F F F 集合在 A A A 集合的像 , 是 F F F 集合在 A A A 集合上限制的 值域 ;

1. F [ { a } ] F[\{a\}] F[{a}]

F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > } \{ , \} {,} , 对应的 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 { b , { a } } \{ b, \{a\} \} {b,{a}}

F [ { a } ] = { b , { a } } F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \} F[{a}]={b,{a}}

2. F [ { a , { a } } ] F[\{a, \{a\}\}] F[{a,{a}}]

F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } \{ , , \} {,,} , 对应的 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像是 { b , { a } , { a , { a } } \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} {b,{a},{a,{a}}

F [ { a , { a } } ] = { b , { a } , { a , { a } } F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}

3. F − 1 [ { a } ] F^{-1}[\{a\}] F−1[{a}]

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ , , \} F−1={,,}

F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 ∅ \varnothing ∅ , 对应的 F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 ∅ \varnothing ∅

F − 1 [ { a } ] = ∅ F^{-1}[\{a\}] = \varnothing F−1[{a}]=∅

4. F − 1 [ { { a } } ] F^{-1}[\{ \{a\} \}] F−1[{{a}}]

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ , , \} F−1={,,}

F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制是 < { a } , a > , 对应的 F − 1 F^{-1} F−1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像是 { a } \{a\} {a}

F − 1 [ { { a } } ] = { a } F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\} F−1[{{a}}]={a}