【集合论】序关系 ( 偏序关系 | 偏序集 | 偏序集示例 )

一、偏序关系

偏序关系 :

给定非空集合 A A A , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ , R R R 关系是 A A A 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A R⊆A×A , 如果 R R R 关系满足以下性质 :

• 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
• 反对称 : 两个顶点之间 有 0 0 0 个或 1 1 1 个有向边 ;
• 传递 : 前提 a → b , b → c a \to b , b\to c a→b,b→c 不成立 默认传递 ; 前提 a → b , b → c a \to b , b\to c a→b,b→c 成立 必须满足 a → c a \to c a→c 存在 ;

则称 R R R 关系是 A A A 集合上的 偏序关系 ;

偏序关系表示 : 使用 ≼ \preccurlyeq ≼ 符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;

符号化表示 : < x , y > ∈ R ⇔ x R y ⇔ x ≼ y \in R \Leftrightarrow xRy \Leftrightarrow x \preccurlyeq y ∈R⇔xRy⇔x≼y , 解读 : < x , y > 有序对在偏序关系 R R R 中 , 则 x x x 与 y y y 之间有 R R R 关系 , x x x 小于等于 y y y ;

等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;

二、偏序集

偏序集 :

≼ \preccurlyeq ≼ 关系 是 A A A 集合上的偏序关系 , 则称 集合 A A A 与 偏序关系 ≼ \preccurlyeq ≼ 构成的 有序对 < A , ≼ > 称为偏序集 ;

如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;

三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )

大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;

1. 大于等于、小于等于关系

∅ ≠ A ⊆ R \varnothing \not=A \subseteq R ∅​=A⊆R , 非空集合 A A A , 是实数集 R R R 的子集 ;

集合 A A A 上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 : < A , ≤ > , < A , ≥ > , ,

大于等于关系集合表示 : ≥ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{\ | x,y \in A \land x \geq y \} ≥={ ∣x,y∈A∧x≥y}

小于等于关系集合表示 : ≤ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{\ | x,y \in A \land x \leq y \} ≤={ ∣x,y∈A∧x≤y}

2. 整除关系

∅ ≠ A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x > 0 } \varnothing \not=A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \} ∅​=A⊆Z+​={x∣x∈Z∧x>0} , 非空集合 A A A , 是正整数集 Z + Z_+ Z+​ 的子集 ;

集合 A A A 上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 : < A , ∣ >

整除关系集合表示 : ∣ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{\ | x,y \in A \land x | y \} ∣={ ∣x,y∈A∧x∣y}

x x x 整除 y y y , x ∣ y x|y x∣y , x x x 是除数 (分子) , y y y 是被除数 (分母) ; y x \dfrac{y}{x} xy​ 参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系

四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )

包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;

集族 A \mathscr{A} A 包含于 A A A 集合的幂集 , A ⊆ P ( A ) \mathscr{A}\subseteq P(A) A⊆P(A) ; 包含关系 , x x x 包含于 y y y , 符号化表示 : ⊆ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \subseteq = \{ | x,y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} ⊆={∣x,y∈A∧x⊆y}

包含关系举例 :

前提 :

• 集合 A = { a , b } A = \{ a, b \} A={a,b}

• 集族 A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} \} A1​={∅,{a},{b}}

• 集族 A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} A2​={{a},{a,b}}

• 集族 A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ a , b \} \} A3​=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}} , 该集族也是 A A A 的幂集 ;

使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;

① 集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1​ 上的所有包含关系 :

⊆ 1 = I A 1 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}_1} \cup \{ , \} ⊆1​=IA1​​∪{,}

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ; 空集包含于任意非空集合 ;

② 集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 上的所有包含关系 :

⊆ 2 = I A 2 ∪ { < { a } , { a , b } > } \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}_2} \cup \{ \} ⊆2​=IA2​​∪{}

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ; { a } \{ a \} {a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ;

③ 集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3​ 上的所有包含关系 :

⊆ 3 = I A 3 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > , < ∅ , { a , b } > , { < { a } , { a , b } > } , { < { b } , { a , b } > } } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}_3} \cup \{ , , , \{ \} , \{ \} \} ⊆3​=IA3​​∪{,,,{},{}}

集族上的恒等关系是包含关系 ; 空集包含于任意非空集合 ; { a } \{ a \} {a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ; { b } \{ b \} {b} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ;

五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )

加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;

集合 A A A 非空 , π \pi π 是 A A A 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} ≼加细​ 表示 ;

加细关系 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细} ≼加细​ 符号化表示 :

≼ 加 细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preccurlyeq_{加细} = \{ | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \} ≼加细​={∣x,y∈π∧x是y的加细}

前提 :

• 集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c}

• 集族 A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 = \{ \{ a , b , c \} \} A1​={{a,b,c}}

• 集族 A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \} A2​={{a},{b,c}}

• 集族 A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \} A3​={{b},{a,c}}

• 集族 A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4= \{ \{ c \} , \{ a , b \} \} A4​={{c},{a,b}}

• 集族 A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \} A5​={{a},{b},{c}}

上述集族都是 A A A 集合的划分 ;

划分组成的集合 , 形成新的集合 ;

π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 \} π1​={A1​,A2​} π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 \} π2​={A2​,A3​} π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3​={A1​,A2​,A3​,A4​,A5​}

① π 1 \pi_1 π1​ 集合中的划分元素的加细关系 :

≼ 1 = I π 1 ∪ { < A 2 , A 1 > } \preccurlyeq_1 = I_{\pi1} \cup \{\} ≼1​=Iπ1​∪{}

每个划分都是它自己的加细 ; A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 是 A 1 \mathscr{A}_1 A1​ 的加细 , A 2 \mathscr{A}_2 A2​ 小于等于 A 1 \mathscr{A}_1 A1​ ;

② π 2 \pi_2 π2​ 集合中的划分元素的加细关系 :

≼ 2 = I π 2 \preccurlyeq_2 = I_{\pi2} ≼2​=Iπ2​

每个划分都是它自己的加细 ; A 2 , A 3 \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 A2​,A3​ 互相都不是对方的加细 ;

③ π 3 \pi_3 π3​ 集合中的划分元素的加细关系 :

≼ 3 = I π 3 ∪ { < A 2 , A 1 > , < A 3 , A 1 > , < A 4 , A 1 > , < A 5 , A 1 > , < A 5 , A 2 > , < A 5 , A 3 > , < A 5 , A 4 > } \preccurlyeq_3 = I_{\pi3} \cup \{ , , , , , , \} ≼3​=Iπ3​∪{,,,,,,}

每个划分都是它自己的加细 ; 任何划分都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1​ 的加细 ; A 1 \mathscr{A}_1 A1​ 是最大的 , 大于等于其它任何划分 ; A 5 \mathscr{A}_5 A5​ 是任何划分的加细 ; A 5 \mathscr{A}_5 A5​ 是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;