【组合数学】排列组合 ( 两个计数原则、集合排列示例 | 集合排列、圆排列示例 )

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一、两个计数原则、集合排列示例

排列 26 26 26 个字母 , 使得 a , b a,b a,b 之间有 7 7 7 个字母 , 求排列方法数 ;

需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ;

• 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 3 3 3 类方案 , 第一类有 2 2 2 个方案 , 第二类有 4 4 4 个方案 , 第三类有 1 1 1 个方案 , 总共有 2 + 4 + 1 = 7 2 + 4 + 1 = 7 2+4+1=7 个方案 ;
• 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 3 3 3 类方案 , 第一步有 2 2 2 个方案 , 第二步有 4 4 4 个方案 , 第三步有 1 1 1 个方案 , 总共有 2 × 4 × 1 = 8 2 \times 4 \times 1 = 8 2×4×1=8 个方案 ;

1. 首先使用分步计数原理 ,

• 第一步 : 先构造出以 a , b a,b a,b 为边界 , 中间含有 7 7 7 个字母的子结构 ;
• 第二步 : 将 a , b a,b a,b 子结构作为元素 , 与其它 26 − 9 = 17 26-9 = 17 26−9=17 个子元素一起 , 总共 18 18 18 个元素进行全排列 ;

分步计数原理对应乘法法则 , 最终结果是 第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ;

2. 第一步计算 : 先构造出以 a , b a,b a,b 为边界 , 中间含有 7 7 7 个字母的子结构 ;

该子结构中的 7 7 7 个字母 , 相当于从除 a , b a,b a,b 之外的其它 24 24 24 个字母中选取 7 7 7 个字母进行排列 ,

一一对应 : 相当于元素不重复的集合中 , 进行有序选取 , 对应着集合的排列问题 , 使用集合排列公式进行计算 ;

24 24 24 个字母中选取 7 7 7 个字母进行排列 , 选取方法有 P ( 24 , 7 ) P(24, 7) P(24,7) 种 ;

这里涉及到分类计数原理 ,

• 第一类是 a a a 在前 , b b b 在后的情况 , 选取方法有 P ( 24 , 7 ) P(24, 7) P(24,7) 种 ;
• 第二类是 b b b 在前 , a a a 在后的情况 , 选取方法有 P ( 24 , 7 ) P(24, 7) P(24,7) 种 ;

分类计数原理对应加法法则 , 总的方法数是 第一类 与 第二类 相加之和 , 选取方法有 2   P ( 24 , 7 ) 2\ P(24, 7) 2 P(24,7) 种 ;

3. 第二步计算 : 将 a , b a,b a,b 子结构作为元素 , 与其它 26 − 9 = 17 26-9 = 17 26−9=17 个子元素一起 , 总共 18 18 18 个元素进行全排列 ;

18 18 18 个元素进行全排列 , 结果是 18 ! 18! 18! ;

4. 第一步方案 乘以 第二步方案 ( 分步计算原理 加法法则 ) :

第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ;

N = 2   P ( 24 , 7 )   18 ! N = 2\ P(24, 7) \ 18! N=2 P(24,7) 18!

二、集合排列、圆排列示例

10 10 10 个男生 , 5 5 5 个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 ? 如果站成一圈 , 有多少种方法 ?

需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ;

• 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 3 3 3 类方案 , 第一类有 2 2 2 个方案 , 第二类有 4 4 4 个方案 , 第三类有 1 1 1 个方案 , 总共有 2 + 4 + 1 = 7 2 + 4 + 1 = 7 2+4+1=7 个方案 ;
• 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 3 3 3 类方案 , 第一步有 2 2 2 个方案 , 第二步有 4 4 4 个方案 , 第三步有 1 1 1 个方案 , 总共有 2 × 4 × 1 = 8 2 \times 4 \times 1 = 8 2×4×1=8 个方案 ;

1. 10 10 10 个男生 , 5 5 5 个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 :

需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ;

① 第一步 : 先把男生放好 , 男生 10 10 10 个 , 站好以后有 11 11 11 个格子 ;

10 10 10 个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合排列问题 , 排列方案有 P ( 10 , 10 ) = 10 ! P(10,10) = 10! P(10,10)=10! 个方案 ;

② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , 5 5 5 个女生只能放在这 11 11 11 个格子中 ;

11 11 11 个格子中放 5 5 5 个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 P ( 11 , 5 ) P(11, 5) P(11,5)

③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 :

P ( 10 , 10 )   P ( 11 , 5 ) P(10,10) \ P(11, 5) P(10,10) P(11,5)

2. 10 10 10 个男生 , 5 5 5 个女生, 站成一圈 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 :

需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ;

① 第一步 : 先把男生放好排成一圈 , 男生 10 10 10 个 , 因为是排成一圈 , 因此站好以后只有 10 10 10 个格子 ;

10 10 10 个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合圆排列问题 , 需要使用圆排列公式 , 排列方案有 P ( 10 , 10 ) 10 \cfrac{P(10,10)}{10} 10P(10,10)​ 个方案 ;

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 ) 四、环排列

n n n 元集 S S S , 从 S S S 集合中 有序 , 不重复 选取 r r r 个元素 , S S S 集合的 r − r- r− 环排列数 = P ( n , r ) r = \dfrac{P(n,r)}{r} =rP(n,r)​ r r r 个不同的线性排列 , 相当于同一个环排列 ; 一个环排列 , 从任意位置剪开 , 可以构成 r r r 种不同的线性排列 ;

② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , 5 5 5 个女生只能放在这 10 10 10 个格子中 ;

10 10 10 个格子中放 5 5 5 个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 P ( 10 , 5 ) P(10, 5) P(10,5)

③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 :

P ( 10 , 10 ) 10   P ( 10 , 5 ) \cfrac{P(10,10)}{10} \ P(10, 5) 10P(10,10)​ P(10,5)