【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 )

一、斐波那契数列求解

1 . 斐波那契数列示例 :

( 1 ) 斐波那契数列 : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ⋯ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots 1,1,2,3,5,8,13,⋯

( 2 ) 递推方程 : F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n-1) + F(n-2) F(n)=F(n−1)+F(n−2)

描述 : 第 n n n 项等于第 n − 1 n-1 n−1 项 和 第 n − 2 n-2 n−2 项之和 ;

如 : 第 4 4 4 项的值 F ( 4 ) = 5 F(4) = 5 F(4)=5 , 就等于

第 4 − 1 = 3 4-1=3 4−1=3 项的值 F ( 4 − 1 ) = F ( 3 ) = 3 F(4-1)=F(3) = 3 F(4−1)=F(3)=3

加上 第 4 − 2 = 2 4-2=2 4−2=2 项的值 F ( 4 − 2 ) = F ( 2 ) = 2 F(4-2) = F(2) =2 F(4−2)=F(2)=2 ;

( 3 ) 初值 : F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 1 F(0) = 1 , F(1) = 1 F(0)=1,F(1)=1

根据 F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 1 F(0) = 1, F(1) = 1 F(0)=1,F(1)=1 可以计算 F ( 2 ) F(2) F(2) , 根据 F ( 1 ) , F ( 2 ) F(1),F(2) F(1),F(2) 可以计算 F ( 3 ) F(3) F(3) , 根据 F ( 2 ) F ( 3 ) F(2)F(3) F(2)F(3) 可以 计算 F ( 4 ) F(4) F(4) , ⋯ \cdots ⋯ , 根据 F ( n − 2 ) , F ( n − 1 ) F(n-2) , F(n-1) F(n−2),F(n−1) 可以计算 F ( n ) F(n) F(n) ;

2 . 写出斐波那契数列的特征方程并求解特征根 :

递推方程 : F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n-1) + F(n-2) F(n)=F(n−1)+F(n−2)

( 1 ) 递推方程标准形式 : F ( n ) − F ( n − 1 ) − F ( n − 2 ) = 0 F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0 F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0

( 2 ) 递推方程写法 :

① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 , 3 3 3 项 ;

② 在确定特征方程 x x x 的次幂 : 从 3 − 1 = 2 3-1=2 3−1=2 到 0 0 0 ;

③ 初步写出没有系数的递推方程 : x 2 + x 1 + x 0 = 0 x^2 + x^1 + x^0 = 0 x2+x1+x0=0

④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程 x 2 + x 1 + x 0 = 0 x^2 + x^1 + x^0 = 0 x2+x1+x0=0 与 F ( n ) − F ( n − 1 ) − F ( n − 2 ) = 0 F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0 F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0 对应位的系数填充到特征方程中 :

• x 2 x^2 x2 前的系数 对应 F ( n ) F(n) F(n) 项前的系数 1 1 1 ;
• x 1 x^1 x1 前的系数 对应 F ( n − 1 ) F(n-1) F(n−1) 项前的系数 − 1 -1 −1 ;
• x 0 x^0 x0 前的系数 对应 F ( n − 2 ) F(n-2) F(n−2) 项前的系数 − 1 -1 −1 ;

则最终的 特征方程是 1 x 2 + ( − 1 ) x 1 + ( − 1 ) x 0 = 0 1 x^2 + (-1)x^1 + (-1)x^0 = 0 1x2+(−1)x1+(−1)x0=0 , 化简后为 :

x 2 − x − 1 = 0 x^2 - x - 1 = 0 x2−x−1=0

特征方程的特征根是 : 上述方程的解就是特征根 , 一般都是一元二次方程 ;

x = 1 ± 5 2 x = \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} x=21±5 ​​

参考 : 一元二次方程形式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 ax2+bx+c=0 解为 : x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​

3 . 写出斐波那契数列的通解 :

斐波那契数列递推方程的特征根是 : 1 ± 5 2 \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} 21±5 ​​ ;

q 1 = 1 + 5 2 q_1 = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} q1​=21+5 ​​ , q 2 = 1 − 5 2 q_2 =\cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} q2​=21−5 ​​

其通解的形式为 F ( n ) = c 1 q 1 n + c 2 q 2 n + ⋯ + c k q k n F(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n F(n)=c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​

将特征根 q 1 , q 2 q_1 , q_2 q1​,q2​ 代入上述通解形式后变成 :

F ( n ) = c 1 ( 1 + 5 2 ) n + c 2 ( 1 − 5 2 ) n F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n F(n)=c1​(21+5 ​​)n+c2​(21−5 ​​)n

4 . 将递推方程初值代入 通解 , 求解通解中的常数:

斐波那契数列 递推方程初值 : F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 1 F(0) = 1 , F(1) = 1 F(0)=1,F(1)=1

代入上述初值 F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 1 F(0) = 1 , F(1) = 1 F(0)=1,F(1)=1 到 递推方程通解 F ( n ) = c 1 ( 1 + 5 2 ) n + c 2 ( 1 − 5 2 ) n F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n F(n)=c1​(21+5 ​​)n+c2​(21−5 ​​)n 中 , 得到如下方程组 :

{ c 1 ( 1 + 5 2 ) 0 + c 2 ( 1 − 5 2 ) 0 = F ( 0 ) = 1 c 1 ( 1 + 5 2 ) 1 + c 2 ( 1 − 5 2 ) 1 = F ( 1 ) = 1 \begin{cases} c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^0 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^0 = F(0) = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^1 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^1 = F(1) = 1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​c1​(21+5 ​​)0+c2​(21−5 ​​)0=F(0)=1c1​(21+5 ​​)1+c2​(21−5 ​​)1=F(1)=1​

化简后得到 :

{ c 1 + c 2 = 1 c 1 ( 1 + 5 2 ) + c 2 ( 1 − 5 2 ) = 1 \begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) = 1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​c1​+c2​=1c1​(21+5 ​​)+c2​(21−5 ​​)=1​

解出上述方程组 : c 1 = 1 5 1 + 5 2 ,    c 2 = − 1 5 1 − 5 2 c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} c1​=5 ​1​21+5 ​​,  c2​=−5 ​1​21−5 ​​

将常数 c 1 = 1 5 1 + 5 2 ,    c 2 = − 1 5 1 − 5 2 c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} c1​=5 ​1​21+5 ​​,  c2​=−5 ​1​21−5 ​​ 代入到通解 F ( n ) = c 1 ( 1 + 5 2 ) n + c 2 ( 1 − 5 2 ) n F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n F(n)=c1​(21+5 ​​)n+c2​(21−5 ​​)n 中 , 可以得到通解 :

F ( n ) = 1 5 1 + 5 2 ( 1 + 5 2 ) n − 1 5 1 − 5 2 ( 1 − 5 2 ) n F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n - \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n F(n)=5 ​1​21+5 ​​(21+5 ​​)n−5 ​1​21−5 ​​(21−5 ​​)n

化简后为 :

F ( n ) = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n + 1 − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n + 1 F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}}( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1} - \cfrac{1}{\sqrt{5}} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1} F(n)=5 ​1​(21+5 ​​)n+1−5 ​1​(21−5 ​​)n+1

二、无重根下递推方程求解完整过程

无重根下递推方程求解完整过程 :

• 1 . 写出特征方程 :
  • ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 0 0 0 ;
  • ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
  • ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数 − 1 -1 −1 , 最低次幂 0 0 0 ;
  • ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
  • ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
• 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 , x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​
• 3 . 构造递推方程的通解 : 构造 c 1 q 1 n + c 2 q 2 n + ⋯ + c k q k n c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
• 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k k k 个 k k k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
  • ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ;

递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数