【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

参考博客 :

• 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )

一、生成函数性质总结

1 . 生成函数 线性性质 :

乘法 : b n = α a n b_n = \alpha a_n bn​=αan​ , 则 B ( x ) = α A ( x ) B(x) = \alpha A(x) B(x)=αA(x)

加法 : c n = a n + b n c_n = a_n + b_n cn​=an​+bn​ , 则 C ( x ) = A ( x ) + B ( x ) C(x) = A(x) + B(x) C(x)=A(x)+B(x)

2 . 生成函数移位性质 :

向后移位 : b ( n ) = { 0 , n < l a n − l , n ≥ l b(n) = \begin{cases} 0, & n < l \\\\ a_{n-l}, & n \geq l \end{cases} b(n)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,an−l​,​n{(1-x)}^m} \end{aligned} {(1+x)}^m} \end{aligned} {(1-x)}^2} \end{aligned}