- 一、给定级数求生成函数
- 二、给定生成函数求级数
参考博客 :
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
数列的 通项公式 就是 级数
一、给定级数求生成函数求 b n = 7 ⋅ 3 n b_n = 7\cdot 3^n bn=7⋅3n 的生成函数 ;
已知数列是 1 n 1^n 1n , 对应的生成函数是 { a n } \{a_n\} {an} , a n = 1 n a_n = 1^n an=1n ; A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x \begin{aligned} A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned} A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
先根据 数列 通项表示 , 写出级数之和 :
G ( x ) = 7 × 3 0 x 0 + 7 × 3 1 x 1 + 7 × 3 2 x 2 + ⋯ + 7 × 3 n x n + ⋯ G(x) = 7 \times 3^0x^0 + 7 \times 3^1x^1 + 7 \times 3^2x^2 + \cdots + 7 \times 3^nx^n + \cdots G(x)=7×30x0+7×31x1+7×32x2+⋯+7×3nxn+⋯
将常数提取到外部 :
G ( x ) = 7 ( 3 0 x 0 + 3 1 x 1 + 3 2 x 2 + ⋯ + 3 n x n + ⋯ ) G(x) = 7 ( 3^0x^0 + 3^1x^1 + 3^2x^2 + \cdots + 3^nx^n + \cdots ) G(x)=7(30x0+31x1+32x2+⋯+3nxn+⋯)
写成合式 :
G ( x ) = 7 ∑ n = 0 ∞ 3 n x n G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty 3^nx^n G(x)=7n=0∑∞3nxn
根据生成函数换元性质 : 通过换元 , 将 3 x 3x 3x 看做一项 :
G ( x ) = 7 ∑ n = 0 ∞ ( 3 x ) n G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n G(x)=7n=0∑∞(3x)n
根据 常用生成函数 A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x A(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = \cfrac{1}{1-x} A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
可以得出 : ∑ n = 0 ∞ ( 3 x ) n = 1 1 − 3 x \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n =\cfrac{1}{1-3x} n=0∑∞(3x)n=1−3x1
根据生成函数线性性质 , 乘法性质 : b n = α a n b_n = \alpha a_n bn=αan , 则 B ( x ) = α A ( x ) B(x) = \alpha A(x) B(x)=αA(x)
可以得出最终的生成函数 G ( x ) = 7 ∑ n = 0 ∞ ( 3 x ) n = 7 1 − 3 x G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n = \cfrac{7}{1-3x} G(x)=7n=0∑∞(3x)n=1−3x7
二、给定生成函数求级数给定序列 { b n } \{b_n\} {bn} 的生成函数 G ( x ) = 2 1 − 3 x + 2 x 2 G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} G(x)=1−3x+2x22 , 求 { b n } \{b_n\} {bn}
先将 生成函数 转化为 其它 生成函数 之和 ;
G ( x ) = 2 1 − 3 x + 2 x 2 G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} G(x)=1−3x+2x22
将 1 − 3 x + 2 x 2 1-3x + 2x^2 1−3x+2x2 分解因式 , 分解为 ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) (1-x)(1-2x) (1−x)(1−2x)
将其转为 如下形式的和 , 分子 A , B A,B A,B 是待定常数 ;
G ( x ) = 2 1 − 3 x + 2 x 2 = A 1 − x + B 1 − 2 x G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x} G(x)=1−3x+2x22=1−xA+1−2xB
将上述式子同分 , 表达成 A , B A, B A,B 的分式 :
G ( x ) = A 1 − x + B 1 − 2 x = A ( 1 − 2 x ) + B ( 1 − x ) ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) G(x) = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x} = \cfrac{A(1-2x) + B(1-x)}{(1-x)(1-2x)} G(x)=1−xA+1−2xB=(1−x)(1−2x)A(1−2x)+B(1−x)
= A − 2 A x + B − B x ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{A-2Ax + B- Bx}{(1-x)(1-2x)} =(1−x)(1−2x)A−2Ax+B−Bx
= ( A + B ) − ( 2 A + B ) x ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{(1-x)(1-2x)} =(1−x)(1−2x)(A+B)−(2A+B)x
= ( A + B ) − ( 2 A + B ) x 1 − 3 x + 2 x 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{1-3x + 2x^2} =1−3x+2x2(A+B)−(2A+B)x
与 G ( x ) = 2 1 − 3 x + 2 x 2 G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} G(x)=1−3x+2x22 的分子的 x x x 项 与 常数项 对比 :
x x x 一次方项是 0 0 0 , 即 2 A + B = 0 2A + B = 0 2A+B=0
常数项是 2 2 2 , 即 A + B = 2 A + B = 2 A+B=2
得到方程组 :
{ A + B = 2 2 A + B = 0 \begin{cases} A + B = 2 \\\\ 2A + B = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧A+B=22A+B=0
解上述方程组 , 得到结果 :
{ A = − 2 B = 4 \begin{cases} A = -2 \\\\ B = 4 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧A=−2B=4
则生成函数最终分解成了 : G ( x ) = 2 1 − 3 x + 2 x 2 = − 2 1 − x + 4 1 − 2 x G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{-2}{1-x} + \cfrac{4}{1-2x} G(x)=1−3x+2x22=1−x−2+1−2x4
使用线性性质 :
− 2 1 − x \cfrac{-2}{1-x} 1−x−2 对应的级数是 : ∑ n = 0 ∞ ( − 2 ) x n \sum\limits_{n=0}^\infty(-2)x^n n=0∑∞(−2)xn , 数列通项是 c n = − 2 c_n=-2 cn=−2 ;
使用线性性质 , 换元性质 :
4 1 − 2 x \cfrac{4}{1-2x} 1−2x4 对应的级数是 : ∑ n = 0 ∞ 4 ( 2 x ) n = ∑ n = 0 ∞ 4 ⋅ 2 n x n \sum\limits_{n=0}^\infty4(2x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty4\cdot 2^nx^n n=0∑∞4(2x)n=n=0∑∞4⋅2nxn , 数列通项是 4 ⋅ 2 n 4\cdot 2^n 4⋅2n
最终的数列是 : b n = − 2 + 4 ⋅ 2 n b_n = -2 + 4\cdot 2^n bn=−2+4⋅2n
