【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )

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一、正整数拆分基本模型

无序拆分基本模型 :

将 正整数 N N N 无序拆分成正整数 , a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1, a_2, \cdots , a_n a1​,a2​,⋯,an​ 是拆分后的 n n n 个数 ,

该拆分是无序的 , 上述拆分的 n n n 个数的个数可能是不一样的 ,

假设 a 1 a_1 a1​ 有 x 1 x_1 x1​ 个 , a 2 a_2 a2​ 有 x 2 x_2 x2​ 个 , ⋯ \cdots ⋯ , a n a_n an​ 有 x n x_n xn​ 个 , 那么有如下方程 :

a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = N a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = N a1​x1​+a2​x2​+⋯+an​xn​=N

这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数 的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )

无序拆分的情况下 , 拆分后的正整数 , 允许重复 和 不允许重复 , 是两类组合问题 ;

如果不允许重复 , 那么这些 x i x_i xi​ 的取值 , 只能 取值 0 , 1 0, 1 0,1 ; 相当于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;

对应的生成函数是 : G ( x ) = ( 1 + y a 1 ) ( 1 + y a 2 ) ⋯ ( 1 + y a n ) G(x) = (1+ y^{a_1}) (1+ y^{a_2}) \cdots (1+ y^{a_n}) G(x)=(1+ya1​)(1+ya2​)⋯(1+yan​)

如果 允许重复 , 那么这些 x i x_i xi​ 的取值 , 就是 自然数 ; 相当于 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ;

对应的生成函数是 : G ( x ) = ( 1 + y a 1 + y 2 a 1 ⋯   ) ( 1 + y a 2 + y 2 a 2 ⋯   ) ⋯ ( 1 + y a n + y 2 a n ⋯   ) G(x) = (1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots ) G(x)=(1+ya1​+y2a1​⋯)(1+ya2​+y2a2​⋯)⋯(1+yan​+y2an​⋯)

或 G ( x ) = 1 ( 1 − y a 1 ) ( 1 − y a 2 ) ⋯ ( 1 − y a n ) G(x) =\cfrac{1}{ (1-y^{a_1}) (1-y^{a_2}) \cdots (1-y^{a_n}) } G(x)=(1−ya1​)(1−ya2​)⋯(1−yan​)1​

二、有限制条件的无序拆分

将 正整数 N N N 无序拆分成正整数 , a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1, a_2, \cdots , a_n a1​,a2​,⋯,an​ 是拆分后的 n n n 个数 ,

该拆分是无序的 , 上述拆分的 n n n 个数的个数可能是不一样的 ,

假设 a 1 a_1 a1​ 有 x 1 x_1 x1​ 个 , a 2 a_2 a2​ 有 x 2 x_2 x2​ 个 , ⋯ \cdots ⋯ , a n a_n an​ 有 x n x_n xn​ 个 , 那么有如下方程 :

a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = N a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = N a1​x1​+a2​x2​+⋯+an​xn​=N

其中存在限制条件 , a i a_i ai​ 的取值个数 x i x_i xi​ 取值范围 做一下限制 , l i ≤ x i ≤ t i l_i \leq x_i \leq t_i li​≤xi​≤ti​

这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数 的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )

上述受限制条件下的无序拆分 , 就是完整的 带系数 , 带限制条件 的 不定方程非负整数解 的问题 ;