【计算理论】图灵机 ( 图灵机引入 | 公理化 | 希尔伯特纲领 | 哥德尔不完备定理 | 原始递归函数 )

一、图灵机引入

计算理论分为 形式语言与自动机 , 可计算部分 , 计算复杂性部分 ;

之前博客中介绍的 自动机 , 确定性有限自动机 , 非确定性有限自动机 , 正则语言 , 泵引理 , 上下文无关语法 , 下推自动机 , 都属于 形式语言 与 自动机 部分 ;

现在开始讲解 可计算部分 , 即 图灵机 ;

图灵机内容分为 : 图灵机 , 图灵机变形 , 丘奇-图灵论题 ;

二、公理化

希尔伯特纲领历史 , 希尔伯特所处的年代 , 最重要的学科是物理学 , 物理学中数学占很重要的一部分 ;

因此需要对数学进行公理化 , 数学中最重要的是实数 , 实数是由自然数扩张的 , 将自然数进行 公理化 ;

公理化 就是 给出几条公理 , 所有的定理 , 公式 , 推论 , 都是由几个公理推演出来的 , 参考几何学 ;

由公理推导出定理 , 由定理推导出推论 , 这套系统成为公理化系统 ;

公理化系统 是人类文明中的重要角色 ;

三、希尔伯特纲领

希尔伯特纲领 : 包含四部分内容 , 公理化 , 完备性 , 相容性 , 可判定性 ;

1 . 公理化 : 将整个数据进行公理化 , 在数学中的正确命题中 , 挑选出 有限多条命题作为公理 , 所有的命题都可以由这些公理推导出来 ;

2 . 完备性 :

计算机科学中有两大领域 , 语法 , 语义 ;

语法是符号运算 ;

语义是语法对应的现实含义 ;

命题逻辑的语法就是命题公式之间的运算 , 参考 【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 ) ;

完备性就是指所有的语法运算能够完全反应真实世界的真实运算 ;

3 . 相容性 ( 不矛盾性 ) :

在一个系统中 , 不能推导出一个命题 , 同时还能推导出该命题的否命题 ;

4 . 可判定性 :

存在一个算法 , 可以帮助我们判定任何一个命题是真命题还是假命题 ;

四、哥德尔不完备定理

哥德尔 否证明了上述 希尔伯特纲领 不可能实现 , 提出了 哥德尔不完备定理 , 否定上述命题需要对算法提出严格的数学定义 ;

整个数学不可能有一个完美牢固的基础 ;

哥德尔不完备定理 指出 推理的方法有很大的局限性 , 不是万能的 ;

中学算法很多都可以通过 推理 证明 计算 实现 ;

五、哥德尔 原始递归函数

原始递归函数 是由哥德尔提出的 , 该函数 定义在自然数集上 , 如下 :

{ h ( 0 , y ) = f ( y ) h ( x + 1 , y ) = g ( x , h ( x , y ) , y ) \rm \begin{cases} \rm h (0, y) = f(y) \\\\ \rm h(x + 1 , y) = g(x, h(x,y) , y) \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​h(0,y)=f(y)h(x+1,y)=g(x,h(x,y),y)​

f , g \rm f , g f,g 这两个函数是已知的 , 根据这两个已知函数 , 定义一个新的函数 h \rm h h ,

h \rm h h 是二元函数 , 有两个分量 , 都是自然数 , 当第一个分量是 0 0 0 时 , h ( 0 , y ) \rm h (0, y) h(0,y) 通过 f ( y ) \rm f(y) f(y) 定义出来 ;

假设 g \rm g g 也是已知的 , 当 h \rm h h 的第一个分量不为 0 0 0 , 定义该分量值 , 使用递归方法定义 , 根据 h \rm h h 在 x , y \rm x , y x,y 上的值 , 定义 h \rm h h 的第一个分量是 x + 1 \rm x + 1 x+1 时的值 ,

类似于数学归纳法思想 ;